Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Главная часть лорановского разложения (17.50) содержит бесконечное число ненулевых членов, следовательно, в силу
теоремы 17.8 точка
0
0
=z
является существенно особой точкой функции (17.49).
Поведение функции в окрестности её существенно особой точки уточняет следующее утверждение, называемое
теоремой Сохоцкого.
Теорема 17.9. Пусть
0
z
– существенно особая точка функции
(
)
zf
. Тогда для
{
}
(
)
0
, lim | lim
n n n
n n
A z z z f z A
→∞ →∞
∀ ∈ ∃ ⊂ = =
C C
.
1) Пусть
∞
A
. Функция
(
)
zf
не ограничена в любой
(
)
0
zO
δ
&
. Действительно, :
(
)
:
0
1
zO
δ
∃
&
(
)
f z M
≤
,
(
)
0
1
zOz
δ
∈∀
&
. Тогда (см. доказательство необходимости в теореме 17.1) все коэффициенты
n
c
−
,
Ν
∈
n
, главной части
лорановского разложения функции
(
)
zf
в проколотой окрестности точки
0
z
равны нулю. Следовательно, в силу теорему
17.1 (см. достаточность)
0
z
является устранимой особой точкой
(
)
zf
. Противоречие. . Итак, функция
(
)
zf
не
ограничена в
(
)
01
zO
n
&
при любом
Ν
∈
n
. Следовательно,
(
)
(
)
(
)
1 0 1 0
:
n n
n n
O z z O z f z n
∀ ∃ ∈ >
& &
.
Имеем
( )
n
zzzOz
n
n
n
1
0
001
<−<⇔∈
&
.
Переходя в последних неравенствах к пределу при
∞
→
n
, получаем
⇒
=−
∞→
0lim
0
zz
n
n
(
)
⇒=−
∞→
0lim
0
zz
n
n
0
lim zz
n
n
=
∞→
.
Переходя в неравенстве
(
)
n
f z n
>
к пределу при
,
∞
→
n
получаем
(
)
lim
n
n
f z
→∞
= +∞ ⇒
(
)
.lim ∞=⇒
∞→
n
n
zf
Итак, построена
последовательность
{
}
,
n
z
0
lim zz
n
n
=
∞→
|
(
)
∞=
∞→
n
n
zflim
.
2) Пусть
∞
≠
A
. Возможны два случая
2.1)
(
)
(
)
(
)
1 0 1 0
|
n n
n n
O z z O z f z A
∀ ∃ ∈ =
& &
. Тогда
0
lim zz
n
n
=
∞→
и
(
)
AAzf
n
n
n
==
∞→∞→
limlim
, что и требовалось доказать.
2.2)
(
)
(
)
(
)
AzfzOzzO
nn
≠⇒∈∀∃
0101
|
&&
. Тогда функция
( )
( )
Azf
zg
−
=
1
определена и аналитична в
(
)
01
zO
n
&
как отношение двух аналитических в
(
)
01
zO
n
&
функций (см. теорему 9.5). Так как
функция
)(zf
не имеет предела при
0
zz →
, то функция
(
)
zg
тоже не имеет предела при
,
0
zz →
т.е.
0
z
является
существенно особой точкой функции
(
)
zg
. Тогда по уже доказанному в пункте 1)
{
}
,Χ⊂∃
n
z |lim
0
zz
n
n
=
∞→
(
)
∞=
∞→
n
n
zglim
.
Значит,
(
)
[
]
0/1lim =
∞→
n
n
zg
, т.е.
(
)
[
]
0lim =−
∞→
Azf
n
n
, следовательно,
(
)
Azf
n
n
=
∞→
lim
.
Если рассматривать расширенную комплексную плоскость
{
}
∞∪= ΧΧ
, то естественно ввести следующие определения.
Определение 17.4. Несобственное комплексное число
∞
z
называется изолированной особой точкой функции
,)(zfw =
если
(
)
{
}
EzzO
E
i
>∈=∞∃ :Χ
, в которой нет особых точек функции
)(zf
, т.е. в которой эта функция аналитична.
Определение 17.5. Изолированная особая точка
∞
z
функции
(
)
zf
называется:
1) устранимой особой точкой, если существует конечный
(
)
Azf
z
=
∞→
lim
;
2) полюсом, если
(
)
∞=
∞→
zf
z
lim
;
3) существенно особой точкой, если не существует ни конечного, ни бесконечного предела функции
(
)
zf
при
∞
→
z
.
Замечание 17.2. Если
∞
z
является устранимой особой точкой функции
)(zf
, то можно доопределить эту функцию
при
∞
z
, положив
(
)
(
)
Azff
z
==∞
∞→
lim
. Тогда "расширенную" функцию
( )
(
)
, ,
,
f z z
f z
A z
∈
=
= ∞
%
C
можно считать аналитической на
Χ
.
Пусть
∞
z
является изолированной особой точкой функции
,)(zf
т.е. функция
)(zf
аналитична в некотором кольце
(
)
{
}
EzzK
E
>∈=
∞
:0
,
Χ
. Положим
z
w
1
=
. Заметим, что при таком отображении образом кольца
(
)
0
,
∞
E
K
является кольцо

Страницы