Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

( )
2
1cos
2sin
2
z
z
z
zf
+−
=
. (17.48)
Используя стандартное разложение (15.40), получаем для
Χ
∈
∀
z
( )
(
)
( )
zz
n
z
z
n
z
zzp
n
nnn
n
n
n
1
0
212
0
12
)!12(
2)1(
)!12(
2)1(
2sin ϕ=
+
−
=
+
−
==
∑∑
∞
=
+∞
=
+
,
где
(
)
z
1
ϕ
– сумма ряда
2 1 2
0
( 1) 2
(2 1)!
n n n
n
n
∞ +
=
−
+
∑
.
В силу теоремы 14.14
(
)
z
1
ϕ
аналитична на
.
Χ
Кроме
того
,
(
)
020
01
≠==ϕ c
.
Получили
(
)
(
)
zzzp
1
ϕ=
,
где
(
)
z
1
ϕ
аналитична
на
Χ
и
(
)
.00
1
≠ϕ
Следовательно
,
точка
0
0
=z
является
нулём
кратности
1
=
m
(
т
.
е
.
простым
нулём
)
функции
(
)
zp
.
Далее
,
используя
стандартное
разложение
(15.41),
получаем
для
Χ
∈
∀
z
( )
=
−
=+−
−
=+−=
∑∑
∞
=
∞
= 2
2
0
222
)!2(
)1(
2
1
)!2(
)1(
2
1cos
n
nn
n
nn
n
zz
n
zz
zzq
( )
zz
n
z
z
n
nn
2
4
2
42
4
)!2(
)1(
ϕ=
−
=
∑
∞
=
−
,
где
(
)
z
2
ϕ
–
сумма
ряда
2 4
2
( 1)
(2 )!
n n
n
z
n
∞ −
=
−
∑
.
В
силу
теоремы
14.14
(
)
z
2
ϕ
аналитична
на
.
Χ
Кроме
того
,
( )
0
!4
1
0
2
≠=ϕ
.
Получили
(
)
(
)
zzzq
2
4
ϕ=
,
где
(
)
z
2
ϕ
аналитична
на
Χ
и
(
)
.00
2
≠ϕ
Следовательно
,
точка
0
0
=z
является
нулём
кратности
4=k
функции
(
)
zq
.
Тогда
в
силу
теоремы
17.7
точка
0
0
=z
является
полюсом
порядка
3
функции
(
)
(
)
(
)
zqzpzf /=
.
Теорема 17.8. Изолированная
особая
точка
0
z
функции
(
)
zf
является
существенно
особой
точкой
этой
функции
тогда
и
только
тогда
,
когда
главная
часть
лорановского
разложения
(17.1)
функции
(
)
zf
в
некоторой
проколотой
δ
-
окрестности
точки
0
z
содержит
бесконечное
число
ненулевых
членов
.
Необходимость. Пусть
0
z
–
существенно
особая
точка
функции
(
)
zf
.
Тогда
главная
часть
лорановского
разложения
(17.1)
содержит
бесконечное
число
ненулевых
членов
,
ибо
в
противном
случае
точка
0
z
была
бы
в
силу
теорем
17.1, 17.2
либо
устранимой
особой
точкой
,
либо
полюсом
функции
(
)
zf
.
Достаточность. Пусть
главная
часть
лорановского
разложения
(17.1)
содержит
бесконечное
число
ненулевых
членов
.
Тогда
0
z
является
существенно
особой
точкой
функции
(
)
zf
,
ибо
в
противном
случае
в
силу
теорем
17.1, 17.2
главная
часть
лорановского
разложения
(17.1)
либо
равнялась
бы
нулю
,
либо
содержала
бы
конечное
число
ненулевых
членов
.
Пример 17.5. Определим
тип
особой
точки
0
0
=z
функции
( )
2
7
3
z
ezzf =
. (17.49)
Точка
0
0
=z
является
единственной
особой
точкой
функции
(
)
.zf
Следовательно
,
(
)
zf
разложима
в
ряд
Лорана
в
кольце
(
)
{
}
0\0
,0
Χζ =
∞
K
.
Используя
стандартное
разложение
(15.39),
получаем
для
{
}
0\Χ∈∀z
( )
2
2 3
7
2 2 2
3 3
2
7 7 7
7
1 ... ...
2! 3! !
n
z
z z z
f z z e z
n
z
= = + + + + + + =
2 3
3
3 2 3
7 7 7
2! 3! !
7 ... ...
n
n
n
z z
z
z z
−
= + + + + + +
. (17.50)

Страницы