Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 133 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Следовательно, функция
(
)
(
)
zz ϕ=ψ /1
определена и аналитична в
(
)
1
0
O z
δ
как отношение двух аналитических в
(
)
1
0
O z
δ
функций (см. теорему 9.5) . Кроме того,
( )
( )
0
1
0
0
≠
ϕ
=ψ
z
z
. Итак,
( )
(
)
( )
0
m
z
f z
z z
ψ
=
−
,
(
)
1
0
δ
∈
&
,
где
(
)
zψ
аналитична в
(
)
1
0
O z
δ
и
(
)
0
0
≠ψ z
. Следовательно, в силу теоремы 17.3 точка
0
z
является полюсом порядка m
функции
(
)
zf
.
В силу теоремы 17.5, чтобы найти полюсы функции
(
)
(
)
zgzf /1=
и определить их порядок, достаточно найти нули
функции
(
)
zg
и определить их кратность.
Теорема 17.6. Если точка
0
z
является полюсом порядка m функции
(
)
zf
, то эта точка является нулём кратности m
функции
(
)
(
)
zfzg /1=
.
Доказательство теоремы 17.6 аналогично доказательству теоремы 17.5 (нужно провести такие же рассуждения, но
только в обратном порядке).
Теорема 17.7. Пусть функция
(
)
zf
имеет вид
( )
(
)
( )
zq
zp
zf =
,
где
(
)
zp
,
(
)
zq
– аналитические в
(
)
0
zO
δ
функции и точка
0
z
является нулём кратности m функции
(
)
zp
и нулём кратности
k функции
(
)
zq
. Тогда при
km ≥
точка
0
z
является устранимой особой точкой функции
(
)
zf
, при
km <
точка
0
z
является полюсом порядка
mk −
функции
(
)
zf
.
По условию теоремы
( )
( ) ( )
0 1
m
p z z z z
= − ϕ
, (17.41)
где
(
)
z
1
ϕ
аналитична в
(
)
0
zO
δ
и
(
)
0
01
≠ϕ z
;
( )
( ) ( )
0 2
k
q z z z z
= − ϕ
, (17.42)
где
(
)
z
2
ϕ
аналитична в
(
)
0
zO
δ
и
(
)
0
02
≠ϕ z
.
Пусть
km ≥
, т.е.
0
≥− km
. Тогда, в силу (17.41), (17.42)
( )
( )
(
)
( )
1
0
2
m k
z
f z z z
z
−
ϕ
= −
ϕ
. (17.43)
Функции
(
)
z
1
ϕ ,
(
)
z
2
ϕ аналитичны в
(
)
0
zO
δ
следовательно, в силу замечания 9.3, эти функции непрерывны в
(
)
0
zO
δ
, в
частности, они непрерывны в точке
0
z , т.е.
(
)
(
)
011
0
lim
zz
zz
ϕ=ϕ
→
,
(
)
(
)
022
0
lim
zz
zz
ϕ=ϕ
→
. Тогда, в силу теоремы 5.6
(
)
( )
(
)
( )
02
01
2
1
0
lim
z
z
z
z
zz
ϕ
ϕ
=
ϕ
ϕ
∃
→
.
Следовательно, в силу (17.43)
( )
(
)
( )
>
=
ϕ
ϕ
=∃
→
, ,0
, ,
lim
02
01
0
km
km
z
z
zf
zz
а это означает, по определению, что точка
0
z
является устранимой особой точкой функции
(
)
zf
.
Пусть
km <
, тогда в силу (17.41), (17.42)
( )
(
)
( )
0
k m
z
f z
z z
−
ψ
=
−
, (17.44)
где
(
)
(
)
(
)
zzz
21
/ ϕϕ=ψ
. Так как
(
)
(
)
0lim
022
0
≠ϕ=ϕ
→
zz
zz
, то в силу замечания 5.5
(
)
(
)
(
)
0|
200
11
≠ϕ⇒∈∀∃
δδ
zzOzzO
.

Страницы