Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 131 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Из (17.30) следует в силу теоремы 5.2 и замечания 5.5, что
(
)
0
2
zO
δ
∃
, в которой функция
(
)
zψ
ограничена по модулю и
отлична от нуля. Функция
( )
0
m
z z−
при
1
≥
m
является бесконечно малой величиной при
0
zz →
, следовательно, в силу
замечания 5.6 функция
( )
0
1/
m
z z−
является бесконечно большой величиной при
0
zz →
. Тогда в силу теоремы 5.4 функция
( )
(
)
( )
0
m
z
f z
z z
ψ
=
−
(17.31)
является бесконечно большой величиной при
0
zz →
, т.е. выполняется (17.13), а это означает, что
0
z
есть полюс функции
(
)
zf
.
Пусть
0
z
– полюс функции
(
)
zf
. Тогда, в силу теоремы 17.2 в некоторой проколотой δ-окрестности точки
0
z
справедливо разложение (17.28) функции
(
)
zf
в ряд Лорана, при этом первый ряд в правой части (17.28) является
правильной частью лорановского разложения, второй ряд – главной частью лорановского разложения.
Старшим членом главной части лорановского разложения (17.28) называется слагаемое
( )
0
m
c
z z
−
−
.
Определение 17.2. Порядком (или кратностью) полюса
0
z
функции
(
)
zf
называется показатель степени в
знаменателе старшего члена главной части лорановского разложения функции
(
)
zf
в проколотой окрестности точки
0
z
.
Согласно определению 17.2, порядок полюса
0
z
функции
(
)
zf
, имеющей разложение (17.28), равен числу m.
Полюс порядка
1
=
m
функции
(
)
zf
называется простым полюсом этой функции.
Теорема 17.3. Изолированная особая точка
0
z
функции
(
)
zf
является полюсом порядка m этой функции тогда и
только тогда, когда функция
(
)
zf
представима в некоторой проколотой
δ
-окрестности точки
0
z
в виде
( )
(
)
( )
0
m
z
f z
z z
ψ
=
−
, (17.32)
где
(
)
zψ
– некоторая аналитическая в
(
)
0
zO
δ
функция, отличная от нуля в точке
0
z
.
Необходимость. Пусть
0
z
– полюс порядка m функции
(
)
zf
, т.е. в некоторой
(
)
0
zO
δ
&
справедливо разложение
(17.28) с
0
≠
−m
c
. Тогда (см. доказательство теоремы 17.2) в
(
)
0
zO
δ
&
справедливо представление (17.31), где
(
)
zψ
– сумма
степенного ряда, записанного в квадратных скобках в правой части (17.29). В силу теоремы 14.14
(
)
zψ
аналитична в
(
)
0
zO
δ
и
(
)
0
0
≠=ψ
−m
cz
.
Достаточность. Пусть справедливо представление (17.32). В силу теоремы 15.1 в
(
)
0
zO
δ
справедливо разложение
( )
( )
0
0
n
n
n
z d z z
∞
=
ψ = −
∑
, (17.33)
при этом
(
)
0
00
≠ψ= zd
. В силу (17.32), (17.33) для
(
)
0
zOz
δ
∈∀
&
( )
( )
( )
( )
1
0 0
0 0
0
m
n m n m
n
n n
m n
n n n m
d
f z d z z d z z
z z
∞ − ∞
− −
−
= = =
= − = + −
−
∑ ∑ ∑
. (17.34)
Аналогично тому, как получено (17.26), имеем
( )
1
0
0
m
n
m n
n
d
z z
−
−
=
=
−
∑
( )
1
0
m
n
n
n
c
z z
−
=
−
∑
, (17.35)
где
nmn
dc
−−
=
,
mn
≤
≤
∀
1
, в частности,
0
0
≠=
−
dc
m
.
Аналогично тому, как получено (17.27), имеем
( )
0
n m
n
n m
d z z
∞
−
=
− =
∑
( )
0
0
n
n
n
c z z
∞
=
−
∑
, (17.36)
где
nmn
bc
+
=
,
{
}
0
∪∈ Νn
. В силу (17.34) – (17.36) для
(
)
0
zOz
δ
∈∀
&
( )
( )
( )
0
0 1
0
m
n
n
n
n
n n
c
f z c z z
z z
∞
−
= =
= − +
−
∑ ∑
,

Страницы