Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 129 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
(
)
* *
0 * * 0
0 , ( ) | ( )
E O z E z O z f z E
δ δ
∀ > ∃ δ = δ ∀ ∈ ⇒ >
&
,
в частности, для числа
1
=
E
(
)
(
)
1)(|
00
**
>⇒∈∀∃
δδ
zfzOzzO
. Положим
*
,min δδ=h
. Тогда
(
)
1
f z
>
,
(
)
0
zOz
h
&
∈∀
. (17.14)
В силу (17.14)
(
)
0≠zf
,
(
)
0
zOz
h
&
∈∀
. Следовательно, можно рассмотреть функцию
( )
( )
zf
zg
1
=
,
(
)
0
h
z O z
∈
&
. В силу теоремы
9.5 функция
(
)
zg
аналитична в
(
)
0
zO
h
&
как отношение двух аналитических в
(
)
0
zO
h
&
функций. В силу (17.13) и замечания
5.7
(
)
0lim
0
=
→
zg
zz
, (17.15)
а это означает, что точка
0
z
является устранимой особой точкой функции
(
)
zg
. Следовательно, в силу теоремы 17.1
( )
( )
0
0
n
n
n
g z a z z
∞
=
= −
∑
,
(
)
0
zOz
h
&
∈
. (17.16)
Заметим, что
0
0
=a
. Действительно, в силу теоремы 14.12 сумма
(
)
S z
%
степенного ряда в правой части (17.16) непрерывна в
его круге сходимости
(
)
(
)
0 0
h
R
O z O z
⊇
%
, в частности,
(
)
S z
%
непрерывна в точке
0
z
, т.е.
(
)
(
)
0
0
lim
z z
S z S z
→
=
% %
. (17.17)
В силу (17.16)
(
)
(
)
S z g z
=
%
,
(
)
0
zOz
h
&
∈∀
. В силу замечания 14.3
(
)
0 0
S z a
=
%
. Тогда соотношение (17.17) принимает вид
(
)
0
0
lim azg
zz
=
→
. (17.18)
Из (17.15), (17.18) следует, в силу теоремы о единственности предела (см. теорему 5.1), что
0
0
=a
. Тогда разложение (17.16)
можно записать в виде
( ) ( )
0
n
n
n m
g z a z z
∞
=
= −
∑
,
(
)
0
zOz
h
&
∈
, (17.19)
где
m
– некоторое натуральное число,
0≠
m
a
.
Запишем разложение (17.19) в виде
( ) ( ) ( )
0 0
m n m
n
n m
g z z z a z z
∞
−
=
= − −
∑
,
(
)
0
zOz
h
&
∈
. (17.20)
В силу теоремы 14.14 сумма
(
)
zS
ˆ
степенного ряда
( )
0
n m
n
n m
a z z
∞
−
=
−
∑
аналитична в
(
)
0
zO
h
. В силу теоремы 14.12
(
)
zS
ˆ
непрерывна в
(
)
0
zO
h
, в частности,
(
)
zS
ˆ
непрерывна в точке
0
z
, т.е.
(
)
(
)
0
ˆˆ
lim
0
zSzS
zz
=
→
. Заметим, что
(
)
m
azS =
0
ˆ
. Имеем
(
)
0
ˆ
lim
0
≠=
→
m
zz
azS
. (17.21)
Из (17.21) получаем в силу замечания 5.5:
(
)
(
)
(
)
0
ˆ
|
00
11
≠⇒∈∀∃
δδ
zSzOzzO
.
Положим
1
,min δ= hp
. Тогда
(
)
zS
ˆ
аналитична и отлична от нуля в
(
)
0
zO
p
. Следовательно, функция
( )
( )
zS
z
ˆ
1
=ψ
(17.22)
аналитична в
(
)
0
zO
p
и
(
)
(
)
.0/1
ˆ
/1
00
≠==ψ
m
azSz
Так как
(
)
(
)
zgzf /1=
, то в силу (17.20), (17.22)

Страницы