Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 137 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
{
}
(
)
,00:0
,0 δδ
=δ<<∈= OwwK
&
Χ
где
./1 E=δ
Положим
( )
=
w
fwh
1
,
(
)
0
δ
∈Ow
&
. Функция
(
)
wh
аналитична в кольце
(
)
0
,0 δ
K , следовательно, в силу теоремы 16.2,
(
)
wh разложима в этом кольце в ряд Лорана
( )
∑∑
∞
=
−
∞
=
+=
10
ˆ
ˆ
n
n
n
n
n
n
w
c
wczh ,
(
)
0
,0 δ
∈ Kw , (17.51)
где
(
)
1
1
ˆ
2
n
n
h
c d
i
+
γ
ζ
= ζ
π
ζ
∫
,
γ
– любая окружность в центром в нуле радиуса
δ
r
. Возвращаясь к переменной
z
и введя обозначения
nn
cc
−
=
ˆ
,
nn
cc =
−
ˆ
, получаем
( )
∑∑
∞
=
∞
=
−
+=
10 n
n
n
n
n
n
zc
z
c
zf
,
(
)
0
,∞
∈
E
Kz
. (17.52)
Двусторонний степенной ряд в правой части представления (17.52) называется рядом Лорана функции
(
)
zf
в
E
i
-
окрестности изолированной особой точки
∞
z
, а само представление (17.52) называется разложением функции
(
)
zf
в ряд
Лорана (или лорановским разложением функции
(
)
zf
) в
E
i
-окрестности изолированной особой точки
∞
z
.
Заметим, что поведение функции
(
)
zf
при
∞
→
z
определяется поведением ряда по положительным степеням
.
z
По
этой причине главной частью лорановского разложения функции
(
)
zf
в
E
i
-окрестности изолированной особой точки
∞
z
называется ряд
∑
∞
=1
n
n
n
zc
, (17.53)
правильной частью этого разложения называется ряд
∑
∞
=
−
0
n
n
n
z
c
. (17.54)
Напомним, что если
0
z
– конечная изолированная особая точка
(
)
zf
, то главной частью её лорановского разложения в
кольце
(
)
(
)
00,0
zOzK
δδ
=
&
мы называли ряд по отрицательным степеням
0
zz −
, а правильной частью – ряд по
неотрицательным степеням
0
zz −
.
Замечание 17.3. Представление вида (17.52) единственно.
Действительно, в силу теоремы 16.4 представление вида (17.51) единственно, откуда следует единственность
представления (17.52).
Замечание 17.4. Правильная и главная часть разложения (17.51) переходят соответственно в правильную и главную
часть разложения (17.52).
Замечание 17.5. Если
∞
z
является устранимой особой точкой функции
(
)
zf
, то главная часть лорановского
разложения функции
(
)
zf
в окрестности точки
∞
z
равна нулю:
0=
n
c
,
Ν
∈
∀
n
, т.е. справедливо разложение
( )
∑
∞
=
−
=
0
n
n
n
z
c
zf
,
(
)
0
,∞
∈
E
Kz
. (17.55)
Действительно, пусть
∞
z
является устранимой особой точкой функции
(
)
zf
. Тогда точка
0
0
=w
является
устранимой особой точкой функции
( )
=
w
fwh
1
, ибо
( )
∞≠=
=
→→
A
w
fwh
ww
1
limlim
00
. Следовательно, в силу теоремы 17.1
главная часть лорановского разложения (17.51) равна нулю. Значит, в силу замечания 17.4 главная часть лорановского
разложения (17.52) тоже равна нулю.
Замечание 17.6. Если
∞
z
является полюсом функции
(
)
zf
, то главная часть лорановского разложения функции
(
)
zf
в окрестности точки
∞
z
содержит конечное число ненулевых членов:
0;0| =≠∈∃
nm
ccm Ν
,
mn
∀
, т.е.
( )
∑∑
=
∞
=
−
+=
m
n
n
n
n
n
n
zc
z
c
zf
10
,
(
)
0
,∞
∈
E
Kz
. (17.56)
Действительно, пусть
∞
z
является полюсом функции
(
)
.zf
Тогда точка
0
0
=w
является полюсом функции
( )
=
w
fwh
1
, ибо
( )
∞=
=
→→
w
fwh
ww
1
limlim
00
. Следовательно, в силу теоремы 17.2 главная часть лорановского разложения

Страницы