Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 139 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

( ) ( )
(
)
( )
zQ
zP
zfzf
l
n
zzzz
00
limlim
0
→→
==
,
и считают, что
(
)
zf
аналитична в точке
0
z
.
Пример 17.8. Функция
z
z
z
cos
sin
tg =
является мероморфной функцией, ибо она имеет счётное число полюсов
Ζ∈π+
π
= kkz
k
,
2
.
Замечание 17.11. В любом круге
(
)
0
R
O
мероморфная функция
(
)
zf
может иметь лишь конечное число полюсов.
Действительно, :
(
)
|0
R
O∃
∃
последовательность полюсов
{ }
( )
1
0
n R
n
z O
∞
=
⊂
. Последовательность
{ }
1
n
n
z
∞
=
ограничена,
ибо
Rz
n
≤
,
∈
∀
n
. Тогда, в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса для вещественных функций двух вещественных
переменных [2.8, с.485] из последовательности
{ }
1
n
n
z
∞
=
можно выделить сходящуюся подпоследовательность
{
}
1
k
n
k
z
∞
=
:
*
lim zz
k
n
k
=
∞→
. Точка
*
z
является неизолированной особой точкой функции
( )
f z
, ибо в любой её сколь угодно малой δ-
окрестности есть другие особые точки функции
(
)
zf
. А это противоречит определению мероморфной функции. .
Теорема 17.10. Если для мероморфной функции
(
)
zf
точка
∞
=
z
является устранимой особой точкой или полюсом, то
(
)
zf
является дробно-рациональной функцией.
По условию теоремы точка
∞
=
z
является изолированной особой точкой функции
(
)
zf
, т.е.
(
)
∞∃
E
i
O
, в которой
функция
(
)
zf
аналитична. Тогда в силу замечания 17.11 функция
(
)
zf
имеет конечное число полюсов. Пусть
{ }
1
l
k
k
z
=
–
множество всех конечных полюсов функции
(
)
zf
. Рассмотрим систему окрестностей
( )
{
}
( )
( )
1
| 0
k i j
l
k i j
k
O z O z O z
δ δ δ
=
∩ ≠
,
jilji ≠≤≤∀
,,1
.
В силу теорем 16.2, 17.2 получаем для
lk ≤≤∀1
( )
( )
( )
( )
( )
0 1
k
m
k
n
k
n
n k
n
n n
k
c
f z c z z
z z
∞
−
= =
= − +
−
∑ ∑
,
(
)
k
zOz
k
δ
∈
&
, (17.59)
или, в более краткой записи,
(
)
(
)
(
)
zqzpzf
kk
+=
,
(
)
k
zOz
k
δ
∈
&
, (17.60)
где
(
)
zp
k
,
(
)
zq
k
– соответственно суммы правильной и главной части лорановского разложения (17.59) функции
(
)
zf
в
(
)
k
zO
k
δ
&
. Рассмотрим функцию вида
(
)
(
)
(
)
zQzfz −=ϕ
, (17.61)
где
( ) ( )
∑
=
=
l
i
i
zqzQ
1
.
В силу (17.60), (17.61) при фиксированном
k
(
lk ≤≤1
)
( ) ( ) ( )
∑
≠
=
−=ϕ
l
ki
i
ik
zqzpz
1
,
(
)
k
zOz
k
δ
∈
. (17.62)
Функция
( )
( )
( )
0
n
k
k n k
n
p z c z z
∞
=
= −
∑
аналитична в
(
)
k
zO
k
δ
как сумма степенного ряда (см. теорему 14.14). Функция
( ) ( )
1
l
i
i
i k
z q z
=
≠
ψ =
∑
аналитична в
(
)
k
zO
k
δ
, ибо её особые точки
1 2 1 1
, , ... , , , ... ,
k k l
z z z z z
− +
не принадлежат окружности
(
)
k
zO
k
δ
. Следовательно,
функция (17.62) аналитична в
(
)
k
zO
k
δ
как разность двух аналитических в этой окрестности функций (см. теорему 9.5). Итак,
функция (17.61) аналитична в каждой точке
k
z
(
lk ≤≤1
) . В каждой точке
Χ∈
*
z
, отличной от полюсов
1 2
, , ... ,
l
z z z
,

Страницы