Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 140 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

функция
(
)
zϕ
тоже аналитична как разность аналитических в этой точке функций. Таким образом,
(
)
zϕ
аналитична на всей
комплексной плоскости, т.е. является целой функцией.
Заметим, что для
1
k l
∀ ≤ ≤
( )
( )
( )
1
lim lim 0
k
m
k
n
k
n
z z
n
k
c
q z
z z
−
→∞ →∞
=
= =
−
∑
,
следовательно,
( ) ( )
0limlim
1
==
∑
=
∞→∞→
l
k
k
zz
zqzQ
. (17.63)
Пусть
∞
=
z
– устранимая особая точка функции
(
)
,zf
т.е.
(
)
∞≠=∃
∞→
Azf
z
lim
. Тогда, учитывая (17.63), получаем
(
)
(
)
(
)
[
]
AzQzfz
zz
=−=ϕ∃
∞→∞→
limlim
,
т.е. точка
∞
=
z
является устранимой особой точкой целой функции
(
)
zϕ
. Следовательно, в силу замечания 17.8 функция
(
)
zϕ
является константой:
(
)
0
az ≡ϕ
. Тогда в силу (17.61)
( ) ( )
∑
=
+=
l
k
k
zqazf
1
0
. (17.64)
Пусть
∞
=
z
– полюс функции
(
)
zf
, т.е.
(
)
∞=
∞→
zf
z
lim
. Тогда
(
)
(
)
(
)
[
]
∞=−=ϕ
∞→∞→
zQzfz
zz
limlim
,
т.е.
∞
=
z
является полюсом целой функции
(
)
zϕ
. Следовательно, в силу замечания 17.9 функция
(
)
zϕ
является
многочленом ненулевой степени:
( )
∑
=
+=ϕ
m
n
n
n
zaaz
1
0
. (17.65)
В силу (17.61), (17.65)
( ) ( )
∑∑
==
++=
l
k
k
m
n
n
n
zqzaazf
11
0
. (17.66)
Объединяя формулы (17.64), (17.66), получаем
( )
( )
( )
0 1 1
k
m
k
m l
n
n
n
n k n
k
c
f z a z
z z
−
= = =
= +
−
∑ ∑∑
. (17.67)
Приведя слагаемые в правой части формулы (17.67) к общему знаменателю, получим дробно-рациональную функцию.
Формула (17.67) означает, что мероморфную функцию
(
)
zf
, для которой
∞
=
z
является устранимой особой точкой
или полюсом, можно представить в виде суммы целой части и правильных простейших дробей.
18. ВЫЧЕТЫ
Вычет функции относительно точки, его выражение через коэффициенты лорановского разложения; вычет функции
относительно устранимой особой точки; вычет функции относительно простого полюса; вычет функции относительно
кратного полюса; основная теорема о вычетах; вычет логарифмической производной функции относительно кратного
полюса и относительно кратного нуля этой функции; логарифмический вычет функции относительно контура; теорема о
логарифмическом вычете; принцип аргумента.
Рассмотрим функцию
)(zfw =
,
D
z
∈
. Пусть
0
z
– изолированная особая точка функции
(
)
zf
. Это означает, по
определению, что
(
)
0
zO
δ
∃
, в которой нет других особых точек функции
(
)
zf
, кроме самой точки
0
z
, т.е. функция
(
)
zf
аналитична в проколотой окрестности
(
)
0
zO
δ
&
(рис. 18.1).

Страницы