Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 142 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Действительно, в этом случае, в силу теоремы 17.1, главная часть лорановского разложения функции
(
)
zf
в
(
)
0
zO
δ
&
равна нулю:
0
n
c
−
=
,
Ν
∈
∀
n
. В частности,
0
1
=
−
c
и из (18.3) следует (18.7).
Пример 18.1. Точка
0
0
=z
является устранимой особой точкой функции
( )
z
z
zf
sin
=
(см. пример 17.1).
Следовательно, в силу (18.7)
(
)
f z
=
.
Пример 18.2. Точка
0
0
=z
является полюсом порядка
5
=
m
функции
( )
5
cos
z
z
zf =
(см. пример 17.2). Из лорановского
разложения (17.46) функции
(
)
zf
в кольце
(
)
{
}
0\0
,0
Χ=
∞
K видно, что
24
1
!4
1
1
==
−
c
. Следовательно, в силу (18.3)
( )
1
res ;0
24
f z =
.
Укажем формулу для вычисления вычета функции относительно её полюса.
Теорема 18.2. Вычет функции
(
)
zf
относительно её простого полюса
0
z
вычисляется по формуле
(
)
(
)
(
)
0
0 0
res ; lim
z z
f z z f z z z
→
= −
. (18.8)
По условию теоремы
0
z
– полюс порядка
1
=
m
функции
(
)
zf
. Следовательно, в силу теоремы 17.2 лорановское
разложение функции
(
)
zf
в
(
)
0
zO
δ
&
имеет вид
( )
( )
1
0
0
0
n
n
n
c
f z c z z
z z
∞
−
=
= − +
−
∑
, (18.9)
где
0
1
≠
−
c
. Пусть
(
)
zϕ
– сумма правильной части лорановского разложения (18.9):
( )
( )
0
0
n
n
n
z c z z
∞
=
ϕ = −
∑
.
Функция
(
)
zϕ
непрерывна в
(
)
0
zO
δ
как сумма степенного ряда (см. теорему 14.12), в частности, она непрерывна в точке
0
z
,
т.е.
(
)
(
)
00
0
lim czz
zz
=ϕ=ϕ
→
. (18.10)
Соотношение (18.9) принимает вид
( ) ( )
0
1
zz
c
zzf
−
+ϕ=
−
,
откуда получаем
(
)
(
)
(
)
(
)
1 0 0
c f z z z z z z
−
= − − ϕ −
. (18.11)
Переходя в неравенстве (18.11) к пределу при
0
zz →
и учитывая (18.10), имеем
(
)
(
)
(
)
(
)
0
1 0 0
lim
z z
c f z z z z z z
−
→
= − − ϕ − =
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0
0 0
lim lim
z z z z
f z z z z z z
→ →
= − − ϕ − =
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0
0 0 0
lim 0 lim
z z z z
f z z z
с f z z z
→ →
= − − ⋅ = −
.
Собирая начало и конец записи, получаем
(
)
(
)
0
1 0
lim
z z
с f z z z
−
→
= −
. (18.12)
Из (18.3), (18.12) следует формула (18.8).
Следствие 18.2. Если
0
z
– простой полюс функции
(
)
zf
и функция
(
)
zf
представлена а виде
( )
(
)
( )
zf
zf
zf
2
1
=
,
где
(
)
zf
1
,
(
)
zf
2
– функции, аналитические в точке
0
z
, при этом
(
)
0
01
≠zf
и точка
0
z
является простым нулём функции
(
)
zf
2
, т.е. в силу теоремы 17.4
(
)
0
02
=zf
, но
(
)
0
02
≠
′
zf
, то

Страницы