Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 144 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
(
)
1
2
=
′
zf
,
(
)
13
2
=
′
f
). Итак,
( )
ch 3
res ;3
10
f z =
. Аналогично вычисляются вычеты функции (18.14) относительно её
изолированных особых точек
i
и
i
−
:
( )
1 3
res ; cos1
20
i
f z i
−
= −
;
( )
1 3
res ; cos1
20
i
f z i
+
− = −
.
Теорема 18.3. Вычет функции
(
)
zf
относительно её полюса
0
z
порядка m вычисляется по формуле
( ) ( )
( )
0
1
0 0
1
1
res ; lim
( 1)!
m
m
m
z z
d
f z z f z z z
m
dz
−
−
→
= −
−
. (18.15)
По условию теоремы
0
z – полюс порядка
m
функции
(
)
zf . Следовательно, в силу 17.2 лорановское разложение
функции
(
)
zf в
(
)
0
zO
δ
&
имеет вид
( )
( )
( ) ( )
1 2
0
2
0
0
0 0
...
n
m
n
m
n
c
c c
f z c z z
z z
z z z z
∞
−
− −
=
= − + + + +
−
− −
∑
, (18.16)
где
0≠
−m
c
. Пусть
(
)
zϕ
– сумма правильной части лорановского разложения (18.16). Тогда
( ) ( )
( ) ( )
1 2
2
0
0 0
...
m
m
c
c c
f z z
z z
z z z z
−− −
= ϕ + + + +
−
− −
или
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
1 2
0 0 1 0 2 0
...
m m m m
m
f z z z z z z c z z c z z c
− −
− − −
− = ϕ − + − + − + +
.
Следовательно,
( )
( ) ( )( )
1 1
0 0
1 1
m m
m m
m m
d d
f z z z z z z
dz dz
− −
− −
− = ϕ − +
( ) ( )
1
1 2
1 0 2 0
1
...
m
m m
m
m
d
c z z c z z c
dz
−
− −
− − −
−
+ − + − + +
. (18.17)
Заметим, что
( ) ( )
1
1 2
1 0 2 0 1
1
... ( 1)!
m
m m
m
m
d
c z z c z z c m c
dz
−
− −
− − − −
−
− + − + + = −
.
Тогда равенство (18.17) принимает вид
( )
( ) ( )( )
1 1
0 0 1
1 1
( 1)!
m m
m m
m m
d d
f z z z z z z m c
dz dz
− −
−
− −
− = ϕ − + −
.
Перейдём в этом неравенстве к переделу при
0
zz →
:
( )
( )
0
1
0
1
lim
m
m
m
z z
d
f z z z
dz
−
−
→
− =
( )
( )
0
1
0 1
1
lim ( 1)!
m
m
m
z z
d
z z z m c
dz
−
−
−
→
= ϕ − + −
. (18.18)
Для функции
( ) ( )
( )
0
m
g z z z z= ϕ −
точка
0
z
является нулём кратности не ниже, чем m. Следовательно, в силу теоремы 17.4
(
)
,0
0
=zg
(
)
0
0
=
′
zg
,
(
)
0
0
=
′
′
zg
, …,
(
)
0
0
)1(
=
−
zg
m
. Функция
(
)
z
ϕ
аналитична в
(
)
0
zO
δ
как сумма степенного ряда (см.
теорему 14.14). Тогда функция
(
)
zg
аналитична в
(
)
0
zO
δ
как произведение двух аналитических в
(
)
0
zO
δ
функций (см.
теорему 9.5). Значит, в силу следствия 12.1 производная
(
)
zg
m )1( −
аналитична в
(
)
0
zO
δ
, следовательно, в силу замечания 9.3
(
)
zg
m )1( −
непрерывна в
(
)
0
zO
δ
, в частности,
(
)
zg
m )1( −
непрерывна в точке
0
z
, т.е.
(
)
(
)
0
)1()1(
0
lim zgzg
mm
zz
−−
→
=
.

Страницы