Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 145 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Следовательно, в силу равенства
(
)
0
0
)1(
=
−
zg
m
(
)
0
( 1)
lim 0
m
z z
g z
−
→
=
. (18.19)
В силу (18.18), (18.19)
( )
( )
0
1
0 1
1
lim ( 1)!
m
m
m
z z
d
f z z z m c
−
−
−
→
− = −
,
откуда получаем
( )
( )
0
1
1 0
1
1
lim
( 1)!
m
m
m
z z
d
c f z z z
m
dz
−
−
−
→
= −
−
. (18.20)
Из (18.3), (18.20) следует формула (18.15).
Пример 18.5. Вычислим вычет функции
( )
( ) ( )
3 2
1 2
z
f z
z z
=
+ −
(18.21)
относительно её особой точки 1
0
−=z . Определим тип особой точки 1
0
−=z . Помимо этой особой точки функция
(
)
zf
имеет ещё одну особую точку 2
1
=z . Рассмотрим
(
)
(
)
12|1 −∈−
δδ
OO . Запишем
(
)
zf в виде
( )
( )
( )
3
2
)1(
2
−−
−
=
z
z
z
zf
.
Функция
( )
( )
2
1
2−
=
z
z
zf
аналитична в
(
)
1−
δ
O
(
(
)
zf
1
имеет одну особую точку
2
1
=z
, но
(
)
1
1
−∈
δ
Oz
).
Заметим, что
( ) ( )
( )
0
9
1
21
1
1
2
101
≠−=
−−
−
=−= fzf
.
Следовательно, в силу теоремы 17.3 изолированная особая точка
1
0
−=z
является полюсом порядка
3
=
m
функции
(
)
zf
.
По формуле (18.15)
( ) ( )( )
2
3
2
1
1
res ; 1 lim 1
2!
z
d
f z f z z
→ −
− = + =
( )
2
2 2
1
1
lim
2
2
z
d z
dz
z
→ −
=
−
=
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 4 3
1 2 2 2
2
2 2 2
z z z
d z z
dz
z z z
⋅ − − ⋅ −
+
= = −
− − −
;
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
3 2
2
2 2 3 6
1 2 2 3 2
2
2 2 2
z z z
d z d z
dz
dz
z z z
⋅ − − + ⋅ −
+
= − = − =
− − −
(
)
( )
4
2 4
2
z
z
+
=
−
;
=
(
)
( )
(
)
( )
4 4
1
2 4 2 1 4
1 1 1
lim
2 2 27
2 1 2
z
z
z
→−
+ − +
= =
− − −
.
Итак,
( )
1
res ; 1
27
f z − =
. Аналогично вычисляется вычет функции (18.21) относительно её изолированной особой точки 2:
( )
1
res ;2
27
f z = −
.
При вычислении контурных интегралов от функций, имеющих внутри контура интегрирования конечное число
изолированных особых точек, можно применять следующее утверждение, называемое основной теоремой о вычетах.
Теорема 18.4. Пусть функция
(
)
zf
аналитична в области
D
, кроме конечного числа изолированных особых точек
1 2
, , ... ,
n
z z z D
∈
, и аналитична на границе
Г
области
D
. Тогда
( ) ( )
1
2 res ;
n
k
k
Г
f z dz i f z z
=
= π
∑
∫
. (18.22)

Страницы