Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 147 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 18.3
Эти точки принадлежат области
D
, ограниченной контуром
L
. По формуле (18.22)
( )
( )
3
1
z
L L
e
I dz f z dz
z z
= = =
+
∫ ∫
(
)
(
)
2 res ;0 res ; 1
i f z f z
= π + −
. (18.24)
Представляя функцию
(
)
zf
поочерёдно в виде
( )
( )
3
0
1
−
+
=
z
z
e
zf
z
,
( )
)1(
3
−−
=
z
z
e
zf
z
и используя теорему 17.3, приходим к выводу, что точка
0
1
=z
является полюсом порядка
3
=
m
, а точка
1
2
−=z
– простым
полюсом функции
(
)
zf
. По формуле (18.15)
( ) ( )
2
3
2
0
1
res ;0 lim
2!
z
d
f z f z z
dz
→
= ⋅ =
+
→
1
lim
2
1
2
2
0
z
e
dz
d
z
z
=
( )
( ) ( )
2 2
1 1
1
1 1
z z
z z
e z e
d e ze
dz z
z z
+ − ⋅
= =
+
+ +
;
( )
(
)
( ) ( )
( )
2
2
2 2 4
1 2 1
1
1 1
z z z
z z
e ze z ze z
d e d ze
z dz
dz
z z
+ + − ⋅ +
= = =
+
+ +
( )
( )
(
)
( )
2
2
3 3
1
1 2
1 1
z
z z
e z
e z ze
z z
+
+ −
= =
+ +
;
=
(
)
( )
( )
( )
2
0
3 3
0
1
0 1
1 1 1
lim
2 2 2
1 0 1
z
z
e z
e
z
→
+
+
= ⋅ =
+ +
.
Итак,
( )
1
res ;0
2
f z
=
. (18.25)
По формуле (18.8)
( ) ( )( )
1
3 3
1 1
1
res ; 1 lim 1 lim
( 1)
z
z z
e e
f z f z z
e
z
−
→− →−
− = + = = = −
−
.
Получили
( )
1
res ; 1f z
e
− = −
. (18.26)

Страницы