Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 149 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

( )
(
)
( )
0
m
z
F z
z
ψ
=
− ζ
,
где
(
)
(
)
zz ϕ=ψ /1
. Функция
(
)
zψ
аналитична в окрестности
(
)
0
ζ
δ
O
как частное двух аналитических в этой окрестности
функций (см. теорему 9.5). Кроме того,
(
)
(
)
0/1
00
≠ζϕ=ζψ
. Следовательно, в силу теоремы 17.3 точка
0
ζ
является полюсом
порядка
m
функции
(
)
zF
. Тогда, в силу леммы 18.1
( )
( )
0
res ;
F z
m
F z
′
ζ = −
. (18.35)
Используя (6.64), получаем
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
Ln Ln Ln
F z f z
F z f z f z
′
′ ′
′ ′
= = = − = −
. (18.36)
В силу (18.35), (18.36)
( )
( )
0
res ;
f z
m
f z
′
− ζ = −
. (18.37)
Заметим, что для любой функции
(
)
zg
(
)
(
)
0 0
res ; res ;
g z z g z z
− = −
. (18.38)
Действительно, по определению вычета
( ) ( )
( )
( ) ( )
0 0
1 1
res ; res ;
2 2
g z z g z dz g z dz g z z
i i
γ γ
− = − = − = −
π π
∫ ∫
.
В силу (18.38)
(
)
( )
(
)
( )
ζ
′
−=
ζ
′
−
00
; res; res
zf
zf
zf
zf
. (18.39)
Из (18.37), (18.39) следует формула (18.33).
Пусть функция
(
)
zfw =
аналитична на замкнутом простом гладком или кусочно-гладком контуре
L
и не имеет нулей
на этом контуре:
(
)
0≠
zf
,
L
z
∈
∀
.
Определение 18.2. Логарифмическим вычетом функции
(
)
zf
относительно контура
L
называется величина вида
(
)
( )
1
2
L
f z
dz
i f z
′
π
∫
.
Пусть функция
(
)
zf
удовлетворяет следующим условиям:
1)
(
)
zf
аналитична в односвязной области
D
, кроме конечного числа изолированных особых точек
,,...,,
21
Dzzz
l
∈
являющихся её полюсами порядка соответственно
l
mmm
...,,,
21
;
2)
(
)
zf
имеет в области
D
s
нулей
s
ζζζ
...,,,
21
с кратностями соответственно
s
kkk
...,,,
21
;
3)
(
)
zf
аналитична на границе
L
области
D
и не имеет нулей на
L
, т.е.
(
)
0
≠zf
,
L
z
∈
∀
.
Справедливо следующее утверждение, называемое теоремой о логарифмическом вычете.
Теорема 18.5. При выполнении условий 1) – 3) справедлива формула
(
)
( )
1
2
L
f z
dz N P
i f z
′
= −
π
∫
, (18.40)
где
∑
=
=
s
i
i
kN
1
, (18.41)
∑
=
=
l
j
j
mP
1
, (18.42)

Страницы