Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 151 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

( ) ( )
( )
1 2
0 1 2
( ) ...
s
k
k k
n s
P z a z z z z z z= − − ⋅ ⋅ −
(18.46)
(
ns
≤
,
nkkk
s
=+++ ...
21
). В силу (18.46) многочлен
)(zP
n
имеет n нулей, если каждый нуль считается столько раз, какова
его кратность.
В некоторых задачах приходится определять число нулей многочлена
)(zP
n
(с учётом их кратности) внутри какого-
либо замкнутого простого гладкого или кусочно-гладкого контура
L
.
Следствие 18.4. Число нулей многочлена
)(zP
n
(при условии, что каждый нуль считается столько раз, какова его
кратность) в односвязной области
D
с границей
L
, на которой нет нулей многочлена
)(zP
n
, равно логарифмическому
вычету этого многочлена относительно контура
L
:
(
)
( )
1
2
n
n
L
P z
N dz
i P z
′
=
π
∫
.
Выясним геометрический смысл логарифмического вычета функции
zf
относительно замкнутого контура
,L
т.е.
геометрический смысл левой части формулы (18.40). Запишем логарифмический вычет в виде
(
)
( )
( )
1 1
Ln
2 2
L L
f z
d
dz f z dz
i f z i dz
′
=
π π
∫ ∫
. (18.47)
Возьмём в качестве начальной точки контура
L
некоторую фиксированную точку
Lz ∈
0
. Тогда при полном обходе контура
L
в положительном направлении, т.е. при движении точки
z
из точки
0
z
в точку
0*
zz =
(
*
z
– конечная точка контура
L
)
соответствующая точка
zfw =
опишет некоторую замкнутую кривую
Г
(
00
zfw =
и
0**
zfzfw ==
–
соответственно начальная и конечная точки кривой
Г
) (рис. 18.5, 18.6).
Пусть
0
ϕ
– значение
zf Arg
, отвечающее начальной точке
00
zfw =
кривой
Г
;
1
ϕ
– значение
zf Arg
,
отвечающее конечной точке
0*
ww =
кривой
Г
. По определению логарифмической функции
(
)
(
)
Ln ln Arg
f z f z i z
= +
.
Рис. 18.5

Страницы