Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 153 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

kπ=ϕ−ϕ 2
01
,
где
k
– число полных оборотов, совершаемых радиус-вектором точки
(
)
zf
вокруг начала координат при однократном
обходе точкой
z
контура
L
в положительном направлении (на рис. 18.6
2=
k
). Формула (18.50) принимает вид
kPN
=−
. (18.51)
Согласно (18.51) принцип аргумента можно сформулировать в следующем виде: при выполнении условий теоремы 18.5
разность между количеством нулей и количеством полюсов функции
(
)
,
zf
расположенных внутри замкнутого контура
L
(при условии, что каждый нуль и каждый полюс считаются столько раз, какова их кратность), равна числу полных оборотов,
совершаемых радиус-вектором точки
(
)
zf
вокруг начала координат при однократном обходе точкой
z
контура
L
в
положительном направлении.
В частности, если
(
)
zf
не имеет полюсов внутри контура
L
, то количество нулей функции
(
)
,
zf
расположенных
внутри замкнутого контура
L
(при условии, что каждый нуль считается столько раз, какова его кратность), равно числу
полных оборотов, совершаемых радиус-вектором точки
(
)
zf
вокруг начала координат при однократном обходе точкой
z
контура
L
в положительном направлении.
Замечание 18.2. Если при однократном обходе точкой
z
контура
L
в положительном направлении радиус-вектор
точки
(
)
zf
поворачивается по часовой стрелке, то число полных оборотов, совершаемых радиус-вектором точки
(
)
zf
вокруг начала координат, берётся со знаком "минус".
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Целью данного учебного пособия является формирование у студентов инженерных специальностей вузов основных
понятий и методов теории функций комплексного переменного, что послужит им в дальнейшем базой для изучения других
математических дисциплин, а также специальных дисциплин, использующих математический аппарат. Всё это будет
способствовать подготовке высококвалифицированных инженерных кадров для различных отраслей промышленности и
сельского хозяйства.
ПРИЛОЖЕНИЕ
БИОГРАФИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК
АБЕЛЬ Нильс Хенрик (5.8.1802–6.4.1829) – норвежский математик. Род. близ Ставангера. Обучался в кафедральной
школе, а затем в ун-те Христиании (Осло). В 1824 опубликовал доказательство неразрешимости в радикалах общего алгебр,
ур-ния 5-й степени. В 1825–27 А. был за границей, в частности в Берлине, Париже. В Берлине А. познакомился с нем.
математиком А.Л. Креллем и стал сотрудником его журнала. Мн. классические труды А. были опубликованы в 1826, но в то
время они не принесли автору известности. А. жил в жестокой нужде. Возвратившись на родину, давал частные уроки, в
1828 получил должность доц. в ун-те и инженерной школе Осло. В дек. 1828 А. простудился, заболел пневмонией и 6 апр.
1829 умер. В 1830 Париж. АН присудила ему (посмертно) и нем. математику К. Г. Якоби премию за развитие эллиптических
функций. Собр. соч. А. вышло на франц. яз. в 1839.
За свою короткую жизнь А. сделал важнейшее для дальнейшего развития математики открытие. Пытаясь решить и
радикалах общее ур-ние 5-й степени, он выдвинул такую общую идею: вместо того чтобы искать зависимость, само
существование к-рой остаётся недоказанным, следует поставить вопрос, возможна ли в действительности такая зависимость.
Руководствуясь этой идеей, А. выяснил, почему ур-ния 2-й, 3-й и 4-й степеней решаются в радикалах, т.е. почему ур-ния с
коммутативной группой подстановок корней разрешимы в радикалах. (Коммутативные группы называют теперь абелевыми.)
А. обнаружил также ряд алгебр. функций, к-рые не интегрируются с помощью элементарных функций; их интегрирование
приводит к новым трансцендентным функциям. Эти иссл. привели А. к созданию теории эллиптических и
гиперэллиптических функций, в к-рую он внес большой вклад независимо от К.Г. Якоби. А. – основатель общей теории
интегралов алгебр. функций. Др. важные работы А. относятся к теории рядов. Его именем названа теорема о непрерывности
функций во всем круге сходимости соотв. Ряда. Есть абелевы дифференциалы, интегралы, ур-ния, функции, признаки
сходимости, многообразия, метод суммирования и др. Именем А. назван кратер на обратной стороне Луны.
ВЕЙЕРШТРАСС Карл Теодор Вильгельм (31.10.1815–19. 2.1897) – немецкий математик, чл. Берлин. АН (1856). Род.
в Остенфельде. Спец. высшего образования не имел. Изучал юридические науки в Бонне, но, увлекшись математикой,
оставил юридический ф-т. В 1841 сдал экзамены на звание учителя. В 1842–55 – преподаватель математики в католических
ср. уч. заведениях Дейч-Кронса и Броунберга. С 1856 – экстраординарный, с 1865 – ординарный проф. Берлин, ун-та.
Большинство работ напечатано после его смерти, а при жизни идеи В. распространяли многочисленные слушатели его
лекций из разных стран. Лекции В. имели огромное значение для развития математики. В них впервые с достаточной
строгостью рассматривался ряд осн. матем. понятий. Лекции и науч. статьи В. посвящены матем. анализу, теории
аналитических функций, вариационному исчислению, дифференциальной геометрии и линейной алгебре. Большое значение
для математики имеет разрабатывавшаяся В. система логического обоснования матем. анализа, основанная на построенной
им теории действительных чисел. Значительны результаты В. в области матем. анализа: систематическое использование
понятий верхней и нижней граней числовых множеств, учение о предельных точках, строгое обоснование свойств
непрерывных функций, построение примера непрерывной функции, нигде не имеющей производной (во всем этом

Страницы