Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 150 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

т.е. логарифмический вычет функции
(
)
zf
относительно замкнутого контура
L
равен разности между количеством нулей и
количеством полюсов функции
(
)
zf
, расположенных внутри данного контура, при условии, что каждый нуль и каждый
полюс считаются столько раз, какова их кратность.
Для логарифмической производной
(
)
( )
( )
Ln
f z
f z
f z
′
′
=
функции
(
)
zf особыми точками, расположенными внутри
контура
L
, являются полюсы
{ }
l
j
j
z
=
и нули
{ }
1
s
i
i
=
ζ
функции
(
)
zf
(рис. 18.4).
Рис. 18.4
В силу основной теоремы о вычетах (см. теорему 18.4)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1
1
res ; res ;
2
s l
i j
i j
L
f z f z f z
dz z
i f z f z f z
= =
′ ′ ′
= ζ +
π
∑ ∑
∫
. (18.43)
По формуле (18.33)
(
)
( )
ii
k
zf
zf
=
ζ
′
; res
,
si
≤
≤
1
. (18.44)
По формуле (18.28)
(
)
( )
jj
mz
zf
zf
−=
′
; res
,
lj ≤≤1
. (18.45)
В силу (18.43) – (18.45)
(
)
( )
1 1
1
2
s l
i j
i j
L
f z
dz k m
i f z
= =
′
= −
π
∑ ∑
∫
,
т.е. выполняется (18.40) с
N
и
P
, вычисляемым соответственно по формулам (18.41) и (18.42).
Следствие 18.3. Если функция
(
)
zf
аналитична в односвязной области
D
и на её границе
L
, а так же не имеет нулей
на
L
, то
(
)
( )
1
2
L
f z
dz N
i f z
′
=
π
∫
,
т.е. логарифмический вычет аналитической функции
(
)
zf
относительно замкнутого контура
L
равен числу нулей функции
(
)
zf
, расположенных внутри контура
L
, при условии, что каждый нуль считается столько раз, какова его кратность.
Рассмотрим целую рациональную функцию, т.е. функцию, задаваемую многочленом
nn
nn
n
azazazazP ++++=
−
−
1
1
10
...)(
степени n (
1
≥
n
,
0
0
≠a
). Функция
)(zP
n
является целой функцией (см. пример 9.3), т.е. не имеет особых точек в
Χ
. В силу
основной теоремы алгебры комплексных чисел (см. теорему 15.5) справедливо представление
)(zP
n
в виде

Страницы