Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 148 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В силу (18.24) – (18.26)
−π=
e
iI
2
1
.
Пусть дана функция
(
)
zfw =
. Рассмотрим логарифмическую производную функции
(
)
zf
:
( )
(
)
( )
Ln
f z
f z
f z
′
′
=
. (18.27)
Из (18.27) видно, что особыми точками логарифмической производной функции
(
)
zf являются особые точки и нули этой
функции.
Лемма 18.1. Пусть
0
z – полюс порядка
m
функции
(
)
zf . Тогда
( )
( )
0
res ;
f z
z m
f z
′
. (18.28)
В силу теоремы 17.3 функция
(
)
zf
представима в некоторой
(
)
0
zO
δ
&
в виде
( )
(
)
( )
0
m
z
f z
z z
ψ
=
−
,
где
(
)
zψ
– некоторая аналитическая в
(
)
0
zO
δ
функция, отличная от нуля в точке
0
z
. Используя (6.60), (6.64), получаем
( )
( )
( )
( )
( )
0
Ln Ln
m
f z z
f z
f z
z z
′
′
ψ
′
= = =
−
( )
( )
(
)
( )
0
0
Ln Ln
z
m
z m z z
z z z
′
ψ
′
= ψ − − = −
ψ −
. (18.29)
Функция
(
)
zψ
′
аналитична в
(
)
0
zO
δ
как производная аналитической в
(
)
0
zO
δ
функции
(
)
zψ
(см. следствие 12.1) Так как
(
)
0
0
≠ψ z
, то функция
( )
(
)
( )
z
z
z
ψ
ψ
′
=ϕ
аналитична в окрестности
(
)
0
zO
δ
как частное двух аналитических в этой окрестности
функций (см. теорему 9.5). В силу теоремы 15.1 функция
(
)
zϕ
разложима в ряд Тейлора в
(
)
0
zO
δ
:
( )
( )
0
0
n
n
n
z c z z
∞
=
ϕ = −
∑
. (18.30)
В силу (18.29), (18.30)
(
)
( )
( )
0
0
0
n
n
n
f z
m
c z z
f z z z
∞
=
′
−
= − +
−
∑
,
(
)
0
zOz
δ
∈
&
. (18.31)
В силу теоремы 16.4 представление (18.31) является лорановским разложением логарифмической производной функции
(
)
zf
в
(
)
0
zO
δ
&
. Главная часть этого разложения состоит из одного члена
(
)
0
/ zzm −−
, значит,
mc −=
−
1
. В силу (18.3)
( )
( )
0 1
res ;
f z
z c
f z
−
′
=
. (18.32)
Подставляя в (18.32) вместо коэффициента
1
−
c
его значение
m
−
, получаем формулу (18.28).
Лемма 18.2. Пусть
0
ζ
– нуль кратности
m
функции
(
)
zf
. Тогда
( )
( )
0
res ;
f z
m
f z
′
ζ =
. (18.33)
По определению нуля кратности
m
функция
(
)
zf
представима в некоторой
(
)
0
ζ
δ
O
в виде
( )
( ) ( )
0
m
f z z z
= − ζ ϕ
, (18.34)
где
(
)
zϕ
– некоторая аналитическая в
(
)
0
ζ
δ
O
функция, отличная от нуля в точке
0
ζ
. Рассмотрим функцию
(
)
(
)
zfzF
/1
=
. В
силу (18.34)

Страницы