Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 146 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим окружности
1 2
, , ... ,
n
γ γ γ
с центрами соответственно в точках
1 2
, , ... ,
n
z z z
, не выходящие за пределы
области
D
и не пересекающиеся между собой (рис. 18.2).
Рис. 18.2
Функция
(
)
zf
аналитична в многосвязной области
G
с границей
nG
ГГ γ∪∪γ∪γ∪=
...
21
. Следовательно, в силу
интегральной теоремы Коши для многосвязной области (см. теорему 11.5)
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
...
n
Г
f z dz f z dz f z dz f z dz
γ γ γ
= + + +
∫ ∫ ∫ ∫
. (18.23)
По определению вычета
( ) ( )
1
res ;
2
k
k
f z z f z dz
i
γ
=
π
∫
,
1
k n
≤ ≤
.
Тогда
( ) ( )
2 res ;
k
k
f z dz i f z z
γ
= π ⋅
∫
,
1
k n
≤ ≤
,
и соотношение (18.23) принимает вид
( ) ( )
1
2 res ;
n
k
k
Г
f z dz i f z z
=
= π ⋅
∑
∫
,
откуда следует формула (18.22).
Пример 18.6. Вычислим
( )
3
1
z
L
e
dz
z z +
∫
где
2: =zL
.
Подынтегральная функция
( )
( )
1
3
+
=
zz
e
zf
z
имеет две изолированные особые точки 0
1
=z , 1
2
−=z (рис. 18.3).

Страницы