Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 141 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 18.1
Определение 18.1. Вычетом функции
(
)
zf
относительно точки
0
z
называется интеграл вида
( )
1
2
f z dz
i
γ
π
∫
, (18.1)
где
γ
– произвольный замкнутый простой гладкий или кусочно-гладкий контур, расположенный в
(
)
0
zO
δ
и охватывающий
точку
0
z
(в частности, в качестве
γ
можно взять любую окружность с центром в точке
0
z
радиуса
δ
<
r
).
Обозначение:
(
)
0
f z z
,
(
)
zf
zz
0
res
=
,
(
)
0
res zf
(от французского слова residu – остаток).
По определению,
( ) ( )
0
1
res ;
2
f z z f z dz
i
γ
=
π
∫
. (18.2)
Замечание 18.1. Вычет функции относительно данной точки определяется однозначно, так как значение интеграла
(18.1) не зависит от выбора контура
γ
(важно лишь, чтобы контур
γ
удовлетворял условиям из определения 18.1) (см.
замечание 12.1).
Теорема 18.1. Вычет функции
(
)
zf
относительно её изолированной особой точки
0
z
равен коэффициенту
1
−
c
лорановского разложения этой функции в проколотой
δ
-окрестности точки
0
z
:
(
)
0 1
res ;
f z z c
−
=
. (18.3)
В силу теоремы 16.2 функция
(
)
zf
разложима в ряд Лорана в
(
)
0
zO
δ
&
:
( )
( )
( )
0
0 1
0
n
n
n
n
n n
c
f z c z z
z z
∞ ∞
−
= =
= − +
−
∑ ∑
,
(
)
0
zOz
δ
∈
&
, (18.4)
где
(
)
( )
1
0
1
2
n
n
f z
c dz
i
z z
+
γ
=
π
−
∫
, (18.5)
в качестве
γ
берётся любой контур, удовлетворяющий условиям из определения 18.1. В силу (18.5)
( )
1
1
2
c f z dz
i
−
γ
=
π
∫
. (18.6)
Из (18.2), (18.6) следует формула (18.3).
Следствие 18.1. Если
0
z
– устранимая особая точка функции
(
)
zf
, то
(
)
0
res ; 0
f z z
=
. (18.7)

Страницы