Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 138 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(17.51) содержит конечное число ненулевых членов.
0
ˆ
;0| =≠∈∃
−− nm
ccm Ν
,
mn
>
∀
. Значит, в силу замечания 17.4
главная часть лорановского разложения (17.52) тоже имеет конечное число ненулевых членов:
0;0 =≠
nm
cc
,
mn
>
∀
, т.е.
справедливо разложение (17.56).
Замечание 17.7. Если
∞
=
z
является существенно особой точкой функции
(
)
zf
, то главная часть лорановского
разложения функции
(
)
zf
в окрестности точки
∞
=
z
содержит бесконечное число ненулевых членов.
Действительно, пусть
∞
=
z
является существенно особой точкой функции
(
)
zf
. Тогда точка
0
0
=w
является
существенно особой точкой функции
( )
=
w
fwh
1
, ибо если не существует предел функции
(
)
zf
при
0
→
w
, то не
существует предел функции
( )
=
w
fwh
1
при
0
→
w
. В силу теоремы 17.8 главная часть лорановского разложения (17.51)
имеет бесконечное число ненулевых членов. Значит, в силу замечания 17.4 главная часть лорановского разложения (17.52)
имеет бесконечное число ненулевых членов, т.е. справедливо разложение (17.52), в котором среди коэффициентов
n
c
,
Ν
∈
n
, найдётся бесконечное число ненулевых коэффициентов.
Пусть
(
)
zf
целая функция. Тогда в силу замечания 15.6
(
)
zf
представима на
Χ
в виде суммы своего ряда Тейлора по
степеням
z
:
( )
∑
∞
=
=
0n
n
n
zczf
,
∈
z
Χ
. (17.57)
В частности, представление (17.57) справедливо в произвольно взятой
E
i
-окрестности точки
∞
=
z
:
( )
∑
∞
=
+=
1
0
n
n
n
zcczf
,
(
)
∞∈
E
i
Oz
. (17.58)
В силу замечания 17.3 соотношение (17.58) является лорановским разложением функции
(
)
zf
в
E
i
-окрестности точки
∞
=
z
. Правильной частью этого разложения является число
0
c
, главной частью – ряд
∑
∞
=1n
n
n
zc
.
Замечание 17.8. Если
∞
=
z
является устранимой особой точкой целой функции
(
)
zf
, то эта функция является
константой.
Действительно, в силу замечания 17.5 главная часть лорановского разложения (17.58) равна нулю, следовательно
(
)
0
czf ≡
.
Замечание 17.9. Если
∞
=
z
является полюсом целой функции
(
)
zf
, то эта функция является многочленом ненулевой
степени.
Действительно, в силу замечания 17.6 главная часть лорановского разложения (17.58) содержит конечное число
ненулевых членов, следовательно,
( ) ( )
0
1
m
n
n m
n
f z c c z P z
=
= + =
∑
.
Замечание 17.10. Если
∞
=
z
является существенно особой точкой целой функции
(
)
zf
, то эта функция не является
многочленом.
Действительно, в силу замечания 17.7 главная часть лорановского разложения (17.58) содержит бесконечное число
ненулевых членов, т.е. выражение в правой части (17.58) не является многочленом.
Определение 17.6. Целой трансцендентной функцией называется целая функция, для которой несобственное число
∞
=
z
является существенно особой точкой.
К целым трансцендентным функциям относятся, например, функции
z
e
,
zsin
,
z
.
Определение 17.7. Функция
(
)
zfw
=
называется мероморфной, если она аналитична на всей комплексной плоскости
Χ
, за исключением, быть может, конечного или счётного числа изолированных особых точек, являющихся её полюсами.
Пример 17.6. Любая целая функция (например,
z
e
,
zsin
,
z
) является мероморфной функцией, ибо у неё вообще
нет особых точек.
Пример 17.7. Дробно-рациональная функция
(
)
)(/)( zQzPzf
ln
=
, где
)(),( zQzP
ln
– многочлены степени m и l
соответственно, является мероморфной функцией, ибо она имеет конечное число особых точек, являющихся её полюсами.
Действительно, особыми точками функции
(
)
zf
являются нули многочлена
)(zQ
l
. Если
0
z
– нуль кратности k
многочлена
)(zQ
l
и не является нулём многочлена
)(zP
n
, то в силу теоремы 17.7,
0
z
– полюс порядка k функции
(
)
zf
.
Если
0
z
– нуль кратности k многочлена
)(zQ
l
и нуль кратности m многочлена
)(zP
n
и
mk >
, то, в силу теоремы 17.7,
0
z
–
полюс порядка
mk −
функции
(
)
zf
. Если же в предыдущей ситуации окажется
km ≥
, то
0
z
– устранимая особая точка
функции
(
)
zf
. В этом случае такую точку "устраняют", полагая

Страницы