Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

( )
( )
( )
1 1
1
0
0
1
0 00
n n
n
n
n n n
z z
r
z z z z
z z
− −
−
ζ − ζ −
χ ζ = = = =
− −
−
1
1
1
2
0 0 0
1 1
n
n
n
r
q b
z z z z z z
−
−
= = =
− − −
,
1
0
1
2
<
−
=
zz
r
q
.
Знакоположительный ряд
∑∑
∞
=
−
∞
=
−
=
0
0
1
2
1
n
n
n
n
zz
q
b
(16.29)
сходится как ряд, составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем
(
)
1;0
2
∈q
. Итак, ряд (16.28)
мажорируется на множестве
1
L
сходящимся числовым рядом (16.29). Следовательно, по признаку Вейерштрасса ряд (16.28)
сходится равномерно на окружности
1
L
. В силу (16.27) второе слагаемое в правой части (16.13) принимает вид
( )
( )
( )
( )
1 1
1
0
2
1
0
1 1
2 2
n
n
n
L L
z
f
I d f d
i z i
z z
−
∞
=
ζ −
ζ
= − ζ = ζ ζ
π ζ − π
−
∑
∫ ∫
. (16.30)
Из равномерной сходимости ряда (16.28) на
1
L
и ограниченности по модулю функции
(
)
ζf
на
1
L
вытекает в силу теоремы
14.3 равномерная сходимость на
1
L
ряда
( )
( )
( )
0
1
0
n
n
n
z
f
z z
−
∞
=
ζ −
ζ
−
∑
(16.31)
к функции
( ) ( ) ( )
/
S f z
ζ = − ζ ζ −
%
%
. Следовательно, соотношение (16.30) можно записать в виде
( ) ( )
( )
1
1
0
2
1
0
1
2
n
n
n
L
z f
I d
i
z z
−
∞
=
ζ − ζ
= ζ
π
−
∑
∫
. (16.32)
Члены ряда (16.31) непрерывны на
1
L
и этот ряд сходится равномерно на
1
L
. Следовательно, в силу теоремы 14.6
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
1 1
1 1
0 0
1 1
0 0
n n
n n
n n
L L
z f z f
d d
z z z z
− −
∞ ∞
= =
ζ − ζ ζ − ζ
ζ = ζ =
− −
∑ ∑
∫ ∫
( )
( )
( )
1
1
1
0 0
1
n n
n
L
f
d
z z z
∞
− +
=
ζ
= ζ
− ζ −
∑
∫
. (16.33)
В силу (16.32), (16.33)
( )
2
1
0
n
n
n
c
I
z z
∞
−
=
=
−
∑
, (16.34)
где
(
)
( )
1
1
0
1
2
n
n
L
f
c d
i
z
−
− +
ζ
= ζ
π
ζ −
∫
,
{
}
0∪∈ Νn
. (16.35)
В силу (16.13), (16.23), (16.34)
( )
( )
( )
0
0 1
0
n
n
n
n
n n
c
f z c z z
z z
∞ ∞
−
= =
= − +
−
∑ ∑
, (16.36)
где коэффициенты
,
n
c
n
c
−
выражаются соответственно формулами (16.24), (16.35). Заменяя в формулах (16.24), (16.35)
окружности
21
, LL
на произвольный контур
L
, удовлетворяющий условиям теоремы (это можно сделать в силу замечания
16.2) и объединяя полученные формулы, приходим к формуле (16.10) для вычисления коэффициентов
n
c
в представлении
(16.36).
Двусторонний степенной ряд в правой части представления (16.9) с коэффициентами, вычисляемыми по формуле
(16.10), называется рядом Лорана функции
(
)
zf
в кольце
(
)
0,
zK
Rr
(по степеням
0
zz
−
или с центром в точке
0
z ).
Соотношение (16.9) представляющее аналитическую функцию в виде суммы её ряда Лорана, называется разложением

Страницы