Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
(
)
(
)
2 1
1 1 1
2 2 2
L L
f f f
d d d
i z i z i z
γ
ζ ζ ζ
ζ = ζ + ζ
π ζ − π ζ − π ζ −
∫ ∫ ∫
. (16.11)
Функция
(
)
ζf
аналитична на контуре
γ
и в односвязной области, ограниченной этим контуром. Следовательно, применима
интегральная формула Коши (см. формулу (12.2)), в силу которой
(
)
( )
1
2
f
d f z
i z
γ
ζ
ζ =
π ζ −
∫
. (16.12)
Из (16.11), (16.12) получаем
( )
(
)
(
)
2 1
1 1
2 2
L L
f f
f z d d
i z i z
ζ ζ
π ζ − π ζ −
∫ ∫
. (16.13)
Для любого
2
L∈ζ
имеем
( ) ( )
0
0
000
1
1111
z
zz
zzzzz
−ζ
−
−
−ζ
=
−−−ζ
=
−ζ
. (16.14)
Заметим, что для
2
L∈ζ∀
1
1
0
0
0
0
0
<
−
=
−ζ
−
=
−ζ
−
R
zz
z
zz
z
zz
.
Следовательно, в силу (14.36)
0
0
0
0
0
1
1
n
n
z z
z z
z
z
∞
=
−
=
−
ζ −
−
ζ −
∑
. (16.15)
В силу (16.14), (16.15)
( )
( )
0
1
0
0
1
n
n
n
z z
z
z
∞
+
=
−
=
ζ −
ζ −
∑
. (16.16)
Оценим общий член
(
)
ζ
n
g
ряда
( )
( )
0
1
0
0
n
n
n
z z
z
∞
+
=
−
ζ −
∑
(16.17)
(
0
z
и
z
фиксированы, поэтому члены ряда (16.17) являются функциями комплексного переменного
2
L∈ζ
). Для
{
}
0∪∈∀ Νn
и
2
L∈ζ∀
получаем
( )
( )
( )
0
0 0
1 1 1
1
00
n n n
n
n n n
z z z z z z
g
R
z
z
+ + +
− − −
ζ = = = =
ζ −
ζ −
0
1
1 1 1
1 1
n
n
n
z z
q a
R R R
−
= = =
, 1
1
0
1
<
−
=
R
zz
q .
Знакоположительный ряд
∑∑
∞
=
∞
=
=
0
1
1
0
n
n
n
n
R
q
a (16.18)
сходится как ряд, составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем
(
)
1;0
1
∈q [2.5, с. 112]. Итак, ряд
(16.17) мажорируется на множестве
2
L сходящимся числовым рядом (16.18). Следовательно, по признаку Вейерштрасса (см.
теорему 14.4) ряд (16.17) сходится равномерно на окружности
2
L . В силу (16.16) первое слагаемое в правой части (16.13)
принимает вид
( )
( )
( )
( )
2 2
0
1
1
0
0
1 1
2 2
n
n
n
L L
z z
f
I d f d
i z i
z
∞
+
=
−
ζ
= ζ = ζ ζ
π ζ − π
ζ −
∑
∫ ∫
. (16.19)
Функция
(
)
ζf аналитична на
2
L , следовательно, в силу теоремы 9.1 она непрерывна на ,
2
L а, значит, в силу замечания
5.10, её модуль
(
)
f
ζ
является непрерывной на
2
L
функцией. Заметим, что окружность
2
L
является замкнутым

Страницы