Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 16.1. Ряд (16.1) абсолютно сходится на множестве
(
)
0
\ zO
r
Χ
и расходится в открытом круге
(
)
0
zO
r
, где
r
вычисляется по любой из формул
1
lim
n
n
n
c
r
c
− −
→∞
−
=
, (16.2)
lim
n
n
n
r c
−
→∞
=
. (16.3)
Положим
(
)
wzz =−
0
/1
. Тогда ряд (16.1) принимает вид
∑
∞
=
−
1
n
n
n
wc
. (16.4)
В силу теоремы 14.9 степенной ряд (16.4) абсолютно сходится в своём круге сходимости
(
0
R
O
%
, т.е. сходится в любой точке
w
:
w R
<
%
, и расходится вне замкнутого круга
(
0
R
O
%
, т.е. расходится в любой точке
w
:
w R
>
%
, при этом в силу формул
(14.33), (14.34)
1
lim
n
n
n
c
R
c
−
→∞
− −
=
%
, (16.5)
или
1
lim
n
n
n
R
c
−
→∞
=
%
. (16.6)
Учитывая, что
0
/1 zzw −=
, приходим к следующему выводу: ряд (16.1) абсолютно сходится при любом
z
:
0
1
z z
R
− >
%
и
расходится при любом
z
:
0
1
z z
R
− <
%
. Полагая
1
r
R
=
%
, получаем: ряд (16.1) абсолютно сходится на множестве
(
)
0
\ zO
r
Χ
и
расходится в открытом круге
(
)
0
zO
r
. Из формул (16.5), (16.6) следуют формулы (16.2), (16.3) для определения
r
.
На окружности
(
)
0
zS
r
поведение ряда (16.1) в смысле сходимости может быть различным.
Область сходимости ряда (16.1) имеет вид
( )
HED
zS
r
∪=
0
1
, где
( )
0
zS
r
E
– внешность окружности
(
)
0
zS
r
;
H
–
множество всех точек окружности
(
)
0
zS
r
, в которых ряд (16.1) сходится.
Множество
( )
(
)
0
\
0
zOE
rzS
r
Χ=
называется множеством внутренних точек области сходимости ряда (16.1).
Определение 16.1. Двусторонним степенным рядом называется ряд вида
( )
( )
( )
0 0
1 0
0
n n
n
n n
n
n n n
c
c z z c z z
z z
∞ ∞ ∞
−
=−∞ = =
− = + −
−
∑ ∑ ∑
. (16.7)
Определение 16.2. Значение
Χ∈
*
z
называется точкой сходимости двустороннего степенного ряда (16.7), если в
этой точке сходятся оба ряда в правой части (16.7), т.е. в точке
*
z
сходится рад (16.1) и ряд
( )
0
0
n
n
n
c z z
∞
=
−
∑
. (16.8)
Определение 16.3. Значение
Χ∈
*
z
называется точкой абсолютной сходимости двустороннего степенного ряда
(16.7), если в этой точке абсолютно сходятся оба ряда в правой части (16.7).
В силу определения 16.2 область сходимости ряда (16.7) имеет вид
21
DDD ∩=
, где
1
D
и
2
D
– области сходимости
соответственно рядов (16.1) и (16.8).
Замечание 16.1. Для двустороннего степенного ряда (16.7) выполняется:
а) ряд по отрицательным степеням
0
zz −
, т.е. ряд (16.1) абсолютно сходится на множестве
(
)
0
\ zO
r
Χ
(
r
вычисляется
по любой из формул (16.2), (16.3));
б) ряд по неотрицательным степеням
0
zz −
, т.е. ряд (16.8) абсолютно сходится в своём круге сходимости
(
)
0
zO
R
(
R
вычисляется по любой из формул (14.33), (14.34)).
Действительно, утверждение а) установлено выше; утверждение б) выполняется в силу теоремы 14.10.
Возможны следующие случаи:
1)
R
r
>
, тогда
∅=∩=
21
DDD
, т.е. ряд (16.7) расходится на всей комплексной плоскости
Χ
.
2)
R
r
<
, тогда множеством внутренних точек области сходимости ряда (16.7) является кольцо

Страницы