Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Действительно, из аналитичности функции
(
)
zf
в точке
0
z
следует её разложимость в ряд Тейлора в некоторой δ-
окрестности точки
0
z
(см. следствие 15.1). Тогда
{
|max δ=R
функция
(
)
zf
аналитична в
(
)
}
0
zO
δ
, следовательно,
0
ˆ
zzR −=
, где
z
ˆ
– ближайшая к
0
z
особая точка функции
(
)
zf
(таких ближайших к
0
z
особых точек функции
(
)
zf
может быть несколько, в этом случае они расположены на одной и той же окружности с центром в точке
0
z
).
Замечание 15.5. При любом фиксированном
Χ∈
0
z
целая функция
(
)
zf
представима на всей комплексной плоскости
Χ
в виде суммы своего ряда Тейлора по степеням
0
zz −
:
( )
( )
0
0
n
n
n
f z c z z
∞
=
= −
∑
, (15.19)
где
(
)
!
0
)(
n
zf
c
n
n
=
,
{
}
0∪∈ Νn
, (15.20)
или
(
)
( )
1
0
1
2
n
n
f
i
z
+
γ
ζ
= ζ
π
ζ −
∫
,
{
}
0∪∈ Νn
, (15.21)
где
γ
– произвольный замкнутый простой гладкий или кусочно-гладкий контур, охватывающий точку
0
z
(в частности, в
качестве
γ
можно брать любую окружность с центром в точке
0
z
).
Действительно, зафиксируем произвольное
Χ∈
*
z
. Рассмотрим какой-либо открытый круг
(
)
0
zO
R
(
)
0*
| zOz
R
∈
(для
этого достаточно взять
0*
zzR −>
). По определению целой функции,
(
)
zf
аналитична на всей комплексной плоскости
Χ
,
в частности, она аналитична в открытом круге
(
)
0
zO
R
. Следовательно, в силу теоремы 15.1 функция
(
)
zf
представима в
виде суммы своего ряда Тейлора в
R
-окрестности точки
0
z
, т.е. в круге
(
)
0
zO
R
справедливо представление (15.19), в
частности, такое представление имеет место во взятой точке
*
z
, ибо
(
)
0*
zOz
R
∈
. В силу произвольности выбора
*
z
представление (15.19) справедливо на всей комплексной плоскости
Χ
.
Часто приходится использовать утверждение замечания 15.5 при
0
0
=
z
, поэтому выделим этот случай отдельно.
Замечание 15.6. Целая функция
(
)
zf
представима на всей комплексной плоскости
Χ
в виде суммы своего ряда
Тейлора по степеням
z
:
( )
∑
∞
=
=
0n
n
n
zczf
, (15.22)
где
( )
( )
0
!
n
n
f
c
n
=
,
{
}
0∪∈ Νn
, (15.23)
или
(
)
1
n
n
f
c d
+
γ
ζ
= ζ
ζ
∫
,
{
}
0∪∈ Νn
, (15.24)
где
γ
– произвольный замкнутый простой гладкий или кусочно-гладкий контур, охватывающий точку
0
0
=z
.
Теорема 15.3. Если функция
(
)
zf
аналитична в открытом круге
(
)
0
zO
R
, то для коэффициентов её ряда Тейлора в R-
окрестности точки
0
z
справедлива оценка
(
)
n
n
r
M
c
γ
≤
*
,
{
}
0∪∈ Νn
, (15.25)
где
r
– любое положительное число, меньшее числа
R
;
(
)
0
zS
r
=γ
– окружность с центром в точке
0
z
радиуса
r
;
(
)
(
)
*
maxM f
ζ∈γ
γ = ζ
. (15.26)
Зафиксируем произвольное
(
)
Rr ,0∈
. Возьмём в формуле (15.2) в качестве контура
γ
окружность
(
)
0
zS
r
. Тогда
{
}
0∪∈∀ Νn
получаем
( )
( )
( )
( )
1 1
0 0
1 1
2 2
n
n n
f f
c d d
i
z z
+ +
γ γ
ζ ζ
= ζ = ζ
π π
ζ − ζ −
∫ ∫
. (15.27)
В силу (15.26)

Страницы