Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
0
z
и
z
фиксированы, поэтому члены ряда (15.7) являются функциями комплексного переменного
γ
∈
ζ
). Для
{
}
0∪∈∀ Νn
и
γ
∈
ζ
∀
получаем
( )
( )
( )
0
0 0
1 1 1
00
n n n
n
n n n
z z z z z z
g
r
z
z
+ + +
− − −
ζ = = = =
ζ −
ζ −
0
1 1
n
n
z z
q
r r r
−
= =
, где
1
0
<
−
=
zz
q
.
Знакоположительный ряд
0 0
n
n
n n
q
a
r
∞ ∞
= =
=
∑ ∑
(15.8)
сходится как ряд, составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем
(
)
1;0∈q
[2.5, с. 112]. Итак, ряд (15.7)
мажорируется на множестве
γ
сходящимся числовым рядом (15.8). Следовательно, по признаку Вейерштрасса (см. теорему
14.4) ряд (15.7) сходится равномерно на окружности γ. В силу (15.6) соотношение (15.3) принимает вид
( ) ( )
( )
( )
0
1
0
0
1
2
n
n
n
z z
f z f d
i
z
∞
+
=
γ
−
= ζ ζ
π
ζ −
∑
∫
. (15.9)
Функция
(
)
ζf
аналитична на
γ
, следовательно, в силу теоремы 9.1 она непрерывна на γ. Тогда в силу замечания 5.10 её
модуль
(
)
f
ζ
является непрерывной на
γ
функцией.
Заметим, что окружность
γ
является замкнутым ограниченным множеством. Следовательно, по первой теореме
Вейерштрасса для вещественных функций двух вещественных переменных [2.8, с. 496] функция
(
)
f
ζ
ограничена на γ, т.е.
функция
(
)
ζf
ограничена по модулю на γ, и по второй теореме Вейерштрасса [2.8, с. 496] функция
(
)
f
ζ
достигает на
γ
своей точней верхней грани, т.е.
(
)
( )
* * *
| maxM f f
ζ∈γ
∃ ζ ∈ γ = ζ = ζ
. (15.10)
Заметим, что
*
M
зависит от взятой окружности
γ
, т.е.
(
)
γ=
**
MM
. Из равномерной сходимости ряда (15.7) на
γ
и
ограниченности функции
(
)
ζf
по модулю на
γ
вытекает в силу теоремы 14.3 равномерная сходимость на
γ
ряда
( )
( )
( )
0
1
0
0
n
n
n
z z
f
z
∞
+
=
−
ζ
ζ −
∑
(15.11)
к функции
( )
(
)
z
f
S
−ζ
ζ
=ζ
~
. Следовательно, соотношение (15.9) можно записать в виде
( )
( ) ( )
( )
0
1
0
0
1
2
n
n
n
z z f
f z d
i
z
∞
+
=
γ
− ζ
= ζ
π
ζ −
∑
∫
. (15.12)
Члены ряда (15.11) непрерывны на
γ
и этот ряд сходится равномерно на γ. Следовательно, в силу теоремы 14.6
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
0 0
1 1
0 0
0 0
n n
n n
n n
z z f z z f
d d
z z
∞ ∞
+ +
= =
γ γ
− ζ − ζ
ζ = ζ =
ζ − ζ −
∑ ∑
∫ ∫
( )
( )
( )
0
1
0
0
n
n
n
f
z z d
z
∞
+
=
γ
ζ
= − ζ
ζ −
∑
∫
. (15.13)
В силу (15.12), (15.13)
( )
( )
( )
( )
0
1
0
0
1
2
n
n
n
f
f z z z d
i
z
∞
+
=
γ
ζ
= − ζ
π
ζ −
∑
∫
,
т.е. справедлива формула (15.1) с коэффициентами
n
c
, имеющими вид (15.2).

Страницы