Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
( )
1
0
1
2
n
n
f
c d
i
z
+
γ
ζ
= ζ
π
ζ −
∫
,
{
}
0∪∈ Νn
, (15.2)
где
γ
– произвольный замкнутый простой гладкий или кусочно-гладкий контур, расположенный в открытом круге
(
)
0
zO
R
и
охватывающий точку
0
z
.
Замечание 15.1. Значение интеграла (15.2) не зависит от выбора контура
γ
(важно лишь, чтобы контур
γ
удовлетворял условиям теоремы 15.1) (см. замечание 12.1), в частности, в качестве
γ
можно взять любую окружность
(
)
{
}
rzzzzS
r
=−∈=
00
:Χ
с
R
<
.
Доказательство теоремы. Зафиксируем произвольную точку
(
)
.
0
zOz
R
∈
Рассмотрим окружность
(
)
0
zS
r
=γ |
(
)
0
zO
R
⊂γ
и
(
)
0
zOz
r
∈
(рис. 15.1).
Рис. 15.1
По условию теоремы функция
(
)
ζf
аналитична в открытом круге
(
)
,
0
zO
R
в частности, она аналитична в замкнутой
области
(
)
(
)
γ∪=
00
zOzO
rr
, ибо
(
)
DzO
r
⊂
0
. Следовательно, применима интегральная формула Коши (см. (12.2)), в силу
которой
( )
(
)
1
2
f
f z d
i z
γ
ζ
= ζ
π ζ −
∫
. (15.3)
Для любого
γ
∈
ζ
имеем
( ) ( )
0
0
000
1
1111
z
zz
zzzzz
−ζ
−
−
−ζ
=
−−−ζ
=
−ζ
. (15.4)
Заметим, что для
γ
∈
ζ
∀
0 0
0
0 0
1
z z z z
z z
z z r
− −
−
= = <
ζ − ζ −
.
Следовательно, в силу (14.36)
∑
∞
=
−ζ
−
=
−ζ
−
−
0
0
0
0
0
1
1
n
n
z
zz
z
zz
. (15.5)
В силу (15.4), (15.5)
( )
( )
0
1
0
0
1
n
n
n
z z
z
z
∞
+
=
−
=
ζ −
ζ −
∑
. (15.6)
Оценим общий член ряда
( )
( )
0
1
0
0
n
n
n
z z
z
∞
+
=
−
ζ −
∑
. (15.7)

Страницы