Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 14.10
Теорема 14.13 называется теоремой о почленном интегрировании степенного ряда.
Члены
( )
( )
0
n
n n
f z c z z
= −
,
{
}
0∪∈ Νn
, ряда (14.30) аналитичны на всей комплексной плоскости
Χ
как степенные
функции. Следовательно, в силу теоремы 11.3
( )
( )
2
1
1
0
0
1
n
z
n
n n
z z
c z z dz c
n
+
γ
−
− =
+
∫
и формулу (14.43) можно записать в виде
( )
( )
2
1
1
0
0
1
n
z
n
n
z z
S z dz c
n
+
∞
=
γ
−
=
+
∑
∫
.
В частности, в случае степенного ряда (14.29) для
(
)
0
R
Oz ∈∀
и любой гладкой или кусочно-гладкой кривой
γ
,
соединяющей точки
0
и
z
и расположенной в круге сходимости
(
)
0
R
O
, справедлива формула
1
0 0
0
1
z
n n
n
n
n n
c
c d z
n
∞ ∞
+
= =
ζ ζ =
+
∑ ∑
∫
.
Теорема 14.14. Сумма степенного ряда аналитична в круге сходимости этого ряда.
Пусть
(
)
0
zO
R
– круг сходимости степенного ряда (14.30). Зафиксируем произвольную точку
(
)
0*
zOz
R
∈
.
Покажем, что сумма
(
)
zS
ряда (14.30) аналитична в точке
*
z
. Рассмотрим замкнутый круг
(
)
0
zO
r
|
(
)
(
)
00
zOzO
Rr
⊂
и
(
)
0*
zOz
r
∈
. Члены ряда (14.30) анали-тичны в односвязной области
(
)
0
zO
r
. В силу теоремы 14.11 ряд (14.30) сходится
равномерно на множестве
(
)
0
zO
r
, в частности, он сходится равномерно в односвязной области
(
)
(
)
00
zOzO
rr
⊂
.
Следовательно, по теореме Вейерштрасса (см. теорему 14.7) его сумма
(
)
zS
аналитична на множестве
(
)
0
zO
r
, в частности,
(
)
zS
аналитична во взятой точке
*
z
, ибо
(
)
0*
zOz
r
∈
. В силу произвольности выбора точки
(
)
0*
zOz
R
∈
сумма
(
)
zS
ряда
(14.30) аналитична в круге сходимости
(
)
0
zO
R
.
Теорема 14.14 называется теоремой об аналитичности суммы степенного ряда.
В силу теорем 14.14, 12.4, 14.7 справедливо следующее утверждение.
Теорема 14.15. Сумма
(
)
zS
степенного ряда (14.30) бесконечно дифференцируема в его круге сходимости
(
)
0
zO
R
и
справедлива формула
( )
( )
( )
( )
0
0
k
n
k
n
n
S z c z z
∞
=
= −
∑
,
(
)
0
zOz
R
∈∀
,
Ν∈∀k
, (14.44)
в частности,
( )
( )
1
0
1
n
n
n
S z nc z z
∞
−
=
′
= −
∑
,
(
)
0
zOz
R
∈∀
. (14.45)
Соотношения (14.44), (14.45) записывают также в виде
( ) ( )
( )
( )
0 0
0 0
k
k
n n
n n
n n
c z z c z z
∞ ∞
= =
− = −
∑ ∑
, (14.46)

Страницы