Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Заметим, что для
(
)
.
0*00
zzzzzOz
r
−≤−⇒∈∀
Тогда для
(
)
0
zOz
r
∈∀
,
{
}
0∪∈∀ Νn
имеем
( ) ( )
0 0 * 0 * 0
n n
n n
n n n n
c z z c z z c z z c z z− = ⋅ − ≤ ⋅ − = −
,
т.е. степенной ряд (14.30) мажорируется на множестве
(
)
0
zO
r
сходящимся знакоположительным рядом (14.42).
Следовательно, по признаку Вейерштрасса (см. теорему 14.4) ряд (14.30) равномерно сходится на
(
)
0
zO
r
.
Теорема 14.11 называется теоремой о равномерной сходимости степенного ряда.
Следствие 14.3. Степенной ряд (14.30) сходится равномерно на любом замкнутом ограниченном множестве
G
,
содержащемся в его круге сходимости
(
)
0
zO
R
.
Действительно, рассмотрим замкнутый круг
(
)
0
zO
r
|
(
)
(
)
00
zOzOG
Rr
⊂⊂
(рис. 14.9).
Рис. 14.9
По теореме 14.11 ряд (14.30) сходится равномерно в замкнутом круге
(
)
0
zO
r
, следовательно, он сходится равномерно на
множестве
(
)
0
zOG
r
⊂
.
Теорема 14.12. Сумма степенного ряда непрерывна в его круге сходимости.
Пусть
(
)
0
zO
R
– круг сходимости степенного ряда (14.30). Зафиксируем произвольную точку
(
)
0*
zOz
R
∈
.
Покажем, что сумма
(
)
zS
ряда (14.30) непрерывна в точке
*
z
. Рассмотрим замкнутый круг
(
)
0
zO
r
|
(
)
(
)
00
zOzO
Rr
⊂
и
(
)
0*
zOz
r
∈
. Члены
( )
( )
0
n
n n
f z c z z
= −
,
{
}
0
∪∈Νn
, ряда (14.30) непрерывны на всей комплексной плоскости как степенные
функции, в частности, они непрерывны на множестве
(
)
0
zO
r
. В силу теоремы 14.11 ряд (14.30) сходится равномерно на
множестве
(
)
0
zO
r
. Следовательно, в силу теоремы 14.5 сумма
(
)
zS
ряда (14.30) непрерывна на
(
)
0
zO
r
, в частности,
непрерывна во взятой точке
*
z
. В силу произвольности выбора точки
(
)
0*
zOz
R
∈
сумма
(
)
zS
непрерывна в круге
сходимости
(
)
0
zO
R
.
Теорема 14.12 называется теоремой о непрерывности суммы степенного ряда.
Теорема 14.13. Сумма
(
)
zS
степенного ряда (14.30) интегрируема вдоль любой гладкой или кусочно-гладкой кривой
γ
, расположенной в круге сходимости
(
)
0
zO
R
этого ряда, и
( )
( )
0
0
n
n
n
S z dz c z z dz
∞
=
γ γ
= −
∑
∫ ∫
. (14.43)
Зафиксируем произвольную гладкую или кусочно-гладкую кривую
(
)
0
zO
R
⊂γ
. Пусть
1
z
и
2
z
– соответственно
начальная и конечная точки этой кривой. Рассмотрим замкнутый круг
(
)
0
zO
r
|
(
)
(
)
00
zOzO
Rr
⊂
и
(
)
0
zO
r
⊂γ
(рис. 14.10).
Члены ряда (14.30) непрерывны на кривой
γ
. По теореме 14.11 ряд (14.30) сходится равномерно на множестве
(
)
0
zO
r
, в
частности, он сходится равномерно на кривой
(
)
0
zO
r
⊂γ
. Следовательно, в силу теоремы 14.6 его сумма
(
)
zS
интегрируема вдоль кривой
γ
и справедлива формула (14.43).

Страницы