Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

( )
( ) ( )
2
0 0 0 1
1 1
1 1 1
n
n k
n
n
n n n k
i
i
i
n n n k
∞ ∞ ∞ ∞
= = = =
− −
= = =
+ + +
∑ ∑ ∑ ∑
. (14.40)
Получили знакочередующийся ряд. Следовательно, можно применить признак Лейбница [2.8, с. 455]:
( )
1
k
k
b
k
−
=
,
k
b
k
1
=
,
1
1
1
+
=
+
k
b
k
;
а)
1
k k
b b
>
,
Ν∈∀k
; б)
0lim =
∞→
k
k
b
.
Следовательно, по признаку Лейбница ряд (14.40) сходится. Ряд
∑∑
∞
=
∞
=
=
11
1
kk
k
k
b
это гармонический ряд. Известно [2.8, с. 431], что он расходится. Таким образом, числовой ряд (14.40) сходится условно,
т.е. степенной ряд (14.39) в точке
iz =
1
сходится условно. Рассмотрим ряд (14.39) в точке
iz −=
2
:
( )
(
)
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=
+
=
+
−
=−
+
100
2
0
1
1
1
11
knn
n
n
n
n
knn
i
i
n
i
.
Получили гармонический ряд, он расходится. Таким образом, степенной ряд (14.39) в точке
iz −=
2
расходится.
Область сходимости
D
степенного ряда (14.39) не является областью в смысле определения 7.13, ибо точка
Diz ∈=
1
не является внутренней точкой множества
D
.
Замечание 14.3. Любой степенной ряд вида (14.30) сходится абсолютно в точке
0
zz =
и его сумма в этой точке равна
0
c
.
Сводя степенной ряд вида (14.30) к степенному ряду вида (14.29) и применяя полученные выше результаты для ряда
(14.29), приходим к следующему утверждению.
Теорема 14.10. Степенной ряд (14.30) сходится, причём абсолютно, в открытом круге
(
)
{
}
RzzzzO
R
<−∈=
00
:Χ
, где
R
вычисляется по любой из формул (14.33), (14.34). Вне замкнутого круга
(
)
{
}
RzzzzO
R
≤−∈=
00
:Χ
, т.е. на множестве
(
)
0
\ zO
R
Χ
степенной ряд (14.30) расходится.
Таким образом, радиус сходимости степенного ряда (14.30) вычисляется по любой из формул (14.33), (14.34), а его
кругом сходимости является открытый круг
(
)
0
zO
R
(рис. 14.6).
Рис. 14.6
На границе круга сходимости, т.е. на окружности
(
)
{
}
RzzzzS
R
=−∈=
00
:Χ
поведение степенного ряда (14.30) в
смысле сходимости может быть различным.
Пример 14.4. Найдём круг сходимости степенного ряда
( )
( )
0
1 3
1
4
n
n
n
i
z i
∞
=
+
− −
∑
. (14.41)

Страницы