Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 14.4
Ряд (14.29) расходится в точке
R
z
~
ˆ
=
.
Тогда
,
в
силу
следствия
14.2,
он
расходится
на
множестве
)0(\
~
R
OΧ
,
в
частности
,
расходится
во
взятой
точке
z
.
В
силу
произвольности
выбора
z
ряд
(14.29)
расходится
на
множестве
).0(\
R
OΧ
На
границе
круга
)0(
R
O
,
т
.
е
.
на
окружности
{
}
RzzS
R
=∈= :)0( Χ
поведение
ряда
(14.29)
в
смысле
сходимости
может
быть
различным
.
Открытый
круг
)0(
R
O
называется
кругом сходимости степенного ряда
(14.29),
число
R
–
радиусом сходимости
степенного ряда
(14.29).
Область
сходимости
степенного
ряда
(14.29)
имеет
вид
WOD
R
∪= )0(
,
где
W
–
множество
всех
точек
окружности
)0(
R
S
,
в
которых
ряд
(14.29)
сходится
.
Если
окажется
,
что
∅
=
W
,
то
)0(
R
OD =
.
Заметим
,
что
область
сходимости
степенного
ряда
не
обязательно
является
открытым
множеством
,
т
.
е
.
не
обязательно
является
областью
в
смысле
определения
7.13.
Точно
так
же
,
как
в
случае
степенных
рядов
с
вещественными
членами
[2.5,
с
.133],
получаются
следующие
формулы
для
нахождения
радиуса
сходимости
степенного
ряда
:
1
lim
+
∞→
=
n
n
n
c
c
R
, (14.33)
1
lim
n
n
n
R
→∞
=
. (14.34)
2)
Степенной
ряд
(14.29)
сходится
в
каждой
точке
луча
+
Ρ
.
Тогда
он
сходится
,
причём
абсолютно
на
всей
комплексной
плоскости
Χ
,
т
.
е
.
его
область
сходимости
имеет
вид
Χ
=
D
.
Действительно
,
зафиксируем
произвольное
Χ
∈
z
,
0
≠
z
(
напомним
,
что
в
точке
0
=
z
ряд
(14.29)
сходится
(
см
.
замечание
14.2)).
Возьмём
какое
-
либо
rzr <∈
+
|Ρ
.
Ряд
(14.29)
сходится
в
точке
rz =
*
,
следовательно
,
по
теореме
Абеля
он
сходится
,
причём
абсолютно
,
в
открытом
круге
)0(
r
O
,
в
частности
,
сходится
абсолютно
во
взятой
точке
z
.
В
силу
произвольности
выбора
z
ряд
(14.29)
сходится
абсолютно
на
всей
комплексной
плоскости
Χ
.
В
этом
случае
говорят
,
что
радиус
сходимости
степенного
ряда
равен
бесконечности
:
∞
=
R
.
3)
Степенной
ряд
(14.29)
расходится
в
каждой
точке
луча
+
Ρ
.
Тогда
он
расходится
на
всей
комплексной
плоскости
Χ
,
кроме
точки
0
0
=z
,
т
.
е
.
его
область
сходимости
имеет
вид
{
}
0=D
.
Действительно
,
зафиксируем
произвольное
Χ
∈
z
,
0
≠
z
.
Возьмём
какое
-
либо
rzr >∈
+
|Ρ
.
Ряд
(14.29)
расходится
в
точке
r
z
=
ˆ
.
Тогда
,
в
силу
следствия
14.2,
он
расходится
на
множестве
)0(\
r
OΧ
,
в
частности
,
расходится
во
взятой
точке
z
.
В
силу
произвольности
выбора
z
ряд
(14.29)
расходится
на
множестве
{
}
0\Χ
.
В
этом
случае
говорят
,
что
радиус
сходимости
степенного
ряда
равен
нулю
:
0
=
R
.
Таким
образом
,
установлено
следующее
утверждение
.
Теорема 14.9. Степенной
ряд
(14.29)
сходится
,
причём
абсолютно
,
в
открытом
круге
(
)
{
}
RzzO
R
<∈= :0 Χ
,
где
R
вычисляется
по
любой
из
формул
(14.33), (14.34).
Вне
замкнутого
круга
(
)
{
}
RzzO
R
≤∈= :0 Χ
,
т
.
е
.
на
множестве
)0(\
R
OΧ
степенной
ряд
(14.29)
расходится
.
Пример 14.1.
Найдём
круг
сходимости
и
сумму
степенного
ряда
∑
∞
=0n
n
z
. (14.35)
Имеем
1=
n
c
,
{
}
0
n∀ ∈ ∪N
.
Следовательно
,
в
силу
формулы
(14.33)
1
=
R
,
т
.
е
.
кругом
сходимости
степенного
ряда
(14.35)
является
круг
(
)
{
}
1:0
1
<∈= zzO Χ
.
Применяя
формулу
для
суммы
первых
n
членов
геометрической
прогрессии
[2.8,
с
. 427],
получаем

Страницы