Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

( )
*
*
n
n n
n
z
c z Mq
z
<
,
где
*
1
z
q
z
= <
. Ряд
∑
∞
=0n
n
Mq
сходится как ряд, составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем
10
<
<
q
[2.5,
с
. 112].
Следовательно
,
по
первому
признаку
сравнения
для
знакопо
-
ложительных
рядов
[2.8,
с
. 433]
ряд
(14.32)
сходится
,
а
это
означает
абсолютную
сходимость
ряда
(14.31).
Следствие 14.2.
Пусть
степенной
ряд
(14.29)
расходится
,
или
условно
сходится
в
некоторой
точке
0
ˆ
≠z
.
Тогда
он
расходится
в
любой
точке
(
)
ˆ
\ 0
z
z O∈C
,
где
(
)
}
ˆ
ˆ
0 :
z
O z z z
= ∈ ≤C
.
Действительно
, :
(
)
*
ˆ
\ 0 |
z
z O∃ ∈C
ряд
(14.29)
сходится
в
точке
*
z
(
рис
. 14.2).
Тогда
(
)
*
ˆ
0
z
z O∈
и
по
теореме
Абеля
ряд
(14.29)
в
точке
z
ˆ
сходится
абсолютно
.
Противоречие
. .
Рис. 14.2
Рассмотрим
положительную
полуось
(
луч
)
{
}
0| >∈=
+
xx ΡΡ
действительной
оси
Ox
.
Возможны
три
случая
.
1)
На
луче
+
Ρ
имеются
точки
сходимости
и
точки
расходимости
степенного
ряда
(14.29),
т
.
е
.
H∪Ω=
+
Ρ
,
где
Ω
и
H
–
соответственно
множество
точек
сходимости
и
множество
точек
расходимости
ряда
(14.29).
По
условию
∅
≠
Ω
и
∅
≠
H
.
Возьмём
какое
-
либо
Hh ∈
.
Тогда
,
в
силу
следствия
14.2,
для
.
Hxhx
∈
⇒
>
∀
Значит
,
для
h<ω
⇒
Ω∈ω∀
,
т
.
е
.
множество
Ω
ограничено
сверху
.
Следовательно
, [2.8,
с
. 48],
множество
Ω
имеет
точную
верхнюю
границу
R
.
Покажем
,
что
ряд
(14.29)
сходится
,
причём
абсолютно
,
в
открытом
круге
).0(
R
O
Зафиксируем
произвольное
).0(
R
Oz ∈
Положим
2
Rz
r
+
=
,
т
.
е
.
r
–
середина
отрезка
,
z R
.
Заметим
,
что
)0(
r
Oz ∈
(
рис
. 14.3).
Ряд
(14.29)
сходится
в
точке
rz =
*
,
следовательно
,
по
теореме
Абеля
он
сходится
,
причём
абсолютно
,
в
открытом
круге
),0(
r
O
в
частности
,
сходится
абсолютно
во
взятой
точке
z
.
В
силу
произвольности
выбора
z
ряд
(14.29)
сходится
абсолютно
в
открытом
круге
).0(
R
O
Покажем
,
что
ряд
(14.29)
расходится
вне
замкнутого
круга
)0(
R
O
,
т
.
е
.
расходится
на
множестве
).0(\
R
OΧ
Зафиксируем
произвольное
).0(\
R
Oz Χ∈
Положим
2
~
Rz
R
+
=
,
т
.
е
.
R
~
–
середина
отрезка
,
R z
(
рис
. 14.4).
Рис. 14.3

Страницы