Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

∑
∞
=0n
n
n
zc
(14.29)
или ряд вида
( )
0
0
n
n
n
c z z
∞
=
−
∑
, (14.30)
где
... , ..., , , ,
210 n
cccc
– некоторые заданные комплексные числа, называемые коэффициентами степенного ряда;
0
z
–
некоторое заданное комплексное число.
Ряд вида (14.30) с помощью замены
ζ=−
0
zz
сводится к ряду вида (14.29), поэтому можно ограничиться изучением
рядов вида (14.29) а затем полученные результаты перенести на ряды вида (14.30).
Замечание 14.2. Любой степенной ряд вида (14.29) сходится в точке
0
=
z
, причём сходится абсолютно, и его сумма в
этой точке равна
0
c
.
Действительно, при
0
=
z
ряд (14.29) принимает вид
... 0... 00
0
+++++c
. Такой числовой ряд сходится и его сумма
равна
0
c
. Ряд из модулей
... 0... 00
0
+++++c
тоже сходится и его сумма равна
0
c
.
При
0
≠
z
поведение ряда (14.29) в смысле сходимости может быть различным – он может сходиться, а может и
расходиться.
При изучении степенных рядов весьма важным является следующее утверждение.
Теорема 14.8 (теорема Абеля). Пусть степенной ряд (14.29) сходится в некоторой точке
0
*
≠z
. Тогда он сходится,
причём абсолютно, в открытом круге
(
)
{
}
*
0 :
z
O z z z
= ∈ <C
.
Зафиксируем произвольное
(
)
*
0
z
z O∈
. В силу замечания 14.2 можно считать, что
0
≠
z
. Запишем ряд (14.29) во
взятой точке
z
в виде
( )
*
*
0 0
n
n n
n n
n n
z
c z c z
z
∞ ∞
= =
=
∑ ∑
. (14.31)
Исследуем ряд (14.31) на абсолютную сходимость, т.е. исследуем на сходимость ряд
( )
* *
* *
0 0
n n
n n
n n
n n
z z
c z c z
z z
∞ ∞
= =
= ⋅
∑ ∑
. (14.32)
По условию теоремы, ряд
∑
∞
=0
*
n
n
n
zc
сходится, следовательно, по необходимому признаку сходимости числового ряда (см.
теорему 4.4)
(
)
0lim
*
=
∞→
n
n
n
zc
.
В силу необходимого признака сходимости последовательности комплексных чисел (см. теорему 2.3)
MzcM
n
n
≤>∃
*
:0
,
Ν
∈
∀
n
.
Так как
*
zz <
, то
* *
1
z
z
z z
= <
.
Тогда общий член ряда (14.32) допускает оценку вида

Страницы