Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Доказательство теоремы 14.6 аналогично доказательству соответствующего утверждения для функциональных рядов с
вещественными членами [2.5, с. 129].
Соотношение (14.20) записывается также в виде
( ) ( )
1 1
n n
n n
f z dz f z dz
∞ ∞
= =
γ γ
=
∑ ∑
∫ ∫
(14.21)
и говорят о почленном интегрировании функционального ряда.
Равенство (14.21) означает, что для равномерно сходящегося ряда знак интеграла и знак суммирования можно
переставлять местами.
Теорема 14.6 называется теоремой о почленном интегрировании функционального ряда.
Теорема 14.7 (теорема Вейерштрасса). Если члены ряда (14.1) аналитичны в односвязной области
D
и этот ряд
сходится равномерно в
D
, то его сумма
(
)
zS
аналитична в
D
и справедлива формула
( ) ( )
∑
∞
=
=
1
)()(
n
k
n
k
zfzS
.
Ν∈∀k
. (14.22)
Покажем, что сумма
(
)
zS
удовлетворяет условиям теоремы Морера (см. теорему 12.5). Из аналитичности членов
ряда в области
D
следует, в силу замечания 9.3, их непрерывность в
D
. По условию теоремы ряд сходится равномерно на
D
. Тогда в силу теоремы 14.5 его сумма
(
)
zS
непрерывна в
D
. Пусть
γ
– любой замкнутый простой гладкий или кусочно-
гладкий контур, расположенный в
D
. Члены ряда непрерывны на контуре
γ
. Из равномерной сходимости ряда на
D
следует его равномерная сходимость на
γ
. Тогда в силу теоремы 14.6
( ) ( )
1
n
n
S z dz f z dz
∞
=
γ γ
=
∑
∫ ∫
. (14.23)
В силу теоремы 11.1 и замечания 11.2
( )
0
n
f z dz
γ
=
∫
,
n
∀ ∈
. (14.24)
В силу (14.23), (14.24)
( )
0
S z dz
γ
=
∫
.
Итак, функция
(
)
zS
удовлетворяет условиям теоремы Морера, следовательно,
(
)
zS
аналитична в D. Значит, в силу теоремы
12.4
(
)
zS
бесконечно дифференцируема в области D. Докажем справедливость формулы (14.22). Зафиксируем произвольную
точку
Dz ∈
0
и произвольный замкнутый простой гладкий или кусочно-гладкий контур
,
DL
⊂
охватывающий точку
L
Iz ∈
0
,
где
L
I
– внутренность контура
L
(рис. 14.1).
Рис. 14.1
Положим
0
min zzd
Lz
−=
∈
. Заметим, что
,0
>
d
ибо
0
z
является внутренней точкой области
,
L
I
т.е.
(
)
(
)
.0|
00
>δ>
⇒
⊂∃
δδ
dIzOzO
L
Имеем
0
0
>≥− dzz
,
L
z
∈
∀
. (14.25)

Страницы