Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Обозначим область абсолютной сходимости функционального ряда (14.1) через
.
a
D
В силу теоремы 4.5 справедливо
включение
DD
a
⊆
.
Согласно данному выше определению, функциональный ряд (14.1) сходится на множестве
D
, если он сходится в
каждой точке этого множества. Такая сходимость функционального ряда называется поточечной сходимостью. В силу
(14.3) поточечная сходимость означает следующее:
D
z
∈
∀
и
(
)
(
)
0 ( , ) |
n
N N z n N S z S z
∀ε > ∃ = ε ∀ > ⇒ − < ε
. (14.7)
Заметим, что в силу (14.5) и равенства
(
)
(
)
(
)
(
)
n n
S z S z S z S z
− = −
вместо (14.7) можно записать
D
z
∈
∀
и
(
)
0 ( , ) |
n
N N z n N r z
∀ε > ∃ = ε ∀ > ⇒ < ε
. (14.8)
В некоторых случаях для любого заданного
0
ε
удаётся указать такой номер
N
, который пригоден сразу для всех
D
z
∈
.
Дадим соответствующее определение.
Функциональный ряд (14.1) называется равномерно сходящимся на множестве
D
⊆
Ω
, если
0 ( )
N N
∀ε > ∃ = ε
,
N
не зависит от
z
| Nn
∀
⇒
(
)
(
)
n
S z S z
⇒
− < ε
,
Ω
∈
∀
z
, (14.9)
или в силу (14.5)
(
)
n
r z
< ε
,
Ω
∈
∀
z
. (14.10)
В дальнейшем неоднократно будет использовано следующее утверждение.
Теорема 14.3. Если функциональный ряд (14.1) равномерно сходится на множестве
Ω
к функции
(
)
zS
, то для любой
функции
(
)
zϕ
, ограниченной по модулю на множестве
Ω
, ряд
( ) ( )
∑
∞
=
ϕ
1
n
n
zfz
(14.11)
равномерно сходится на множестве
Ω
к функции
(
)
(
)
(
)
S z z S z
= ϕ
%
.
Пусть функция
(
)
zϕ
ограничена по модулю на множестве
Ω
, т.е.
|0 >∃ M
(
)
z M
ϕ ≤
,
Ω
∈
∀
z
. (14.12)
Зафиксируем произвольное сколь угодно малое
0
ε
. Тогда, в силу равномерной сходимости ряда (14.1) на множестве
Ω
,
для числа
( ),
N N N N
M M
ε ε
ε = ∃ = = ε
%
не зависит от
z
|
( ) ( )
n
n N S z S z
M
ε
∀ > ⇒ − <
,
Ω
∈
∀
z
. (14.13)
Заметим, что n-я частичная сумма ряда (14.11) имеет вид
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
n n
n k k n
k k
S z z f z z f z z S z
= =
= ϕ = ϕ = ϕ
∑ ∑
%
.
Тогда
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
n n
S z S z z S z S z
− = ϕ −
% %
.
Используя оценки (14.12), (14.13), получаем для
Nn
∀
,
Ω
∈
∀
z
:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n n
S z S z z S z S z z S z S z M
M
ε
− = ϕ − = ϕ ⋅ − < ⋅ = ε
% %
.
Получили следующее: для
0 ( ),
N N N
∀ε > ∃ = ε
не зависит от
z
|
n N
∀ >
(
)
(
)
n
S z S z
⇒ − < ε
% %
,
Ω
∈
∀
z
, а это означает,
что ряд (14.11) равномерно сходится на множестве
Ω
к функции
(
)
(
)
z S z
ϕ
.

Страницы