Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Функциональный ряд (14.1) называется мажорируемым на множестве
GG ⊆
1
, если существует сходящийся числовой
ряд
∑
∞
=1n
n
a
,
0≥
n
a
, (14.14)
такой, что
(
)
n n
f z a
≤
,
1
Gz ∈∀
,
Ν
∈
∀
n
, (14.15)
при этом, числовой ряд (14.14) называется мажорантным рядом или мажорантой функционального ряда (14.1).
Укажем достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда (14.1).
Теорема 14.4 (признак Вейерштрасса). Если функциональный ряд (14.1) мажорируется на множестве
GG ⊆
1
, то он
равномерно сходится на этом множестве.
Теорема 14.4 доказывается точно так же, как соответствующее утверждение для функциональных рядов с
вещественными членами [2.5, с. 127].
Укажем некоторые свойства равномерно сходящихся рядов.
Теорема 14.5. Если члены ряда (14.1) непрерывны на множестве
DD ⊆
1
и этот ряд сходится равномерно на
1
D
, то
сумма ряда
(
)
zS
непрерывна на
1
D
.
Теорема 14.5 называется теоремой о непрерывности суммы функционального ряда. Её доказательство аналогично
доказательству соответствующего утверждения для функциональных рядов с вещественными членами [2.5, с. 128].
Следствие 14.1. Если члены ряда (14.1) непрерывны на множестве
1
D
и этот ряд сходится равномерно на
1
D
, то
предел его суммы
(
)
zS
в произвольной фиксированной точке
10
Dz ∈
равен сумме ряда, составленного из пределов членов
ряда (14.1) в этой точке
0
z
:
( ) ( )
∑
∞
=
→→
=
1
00
limlim
n
n
zzzz
zfzS
. (14.16)
Действительно, в силу теоремы 14.5 сумма ряда
(
)
zS
непрерывна во взятой точке
0
z
, т.е.
(
)
(
)
0
0
lim zSzS
zz
=
→
. (14.17)
В силу непрерывности
(
)
zf
n
в точке
0
z
(
)
(
)
0
0
lim zfzf
nn
zz
=
→
,
Ν
∈
n
.
Тогда
( ) ( ) ( )
∑∑
∞
=
→
∞
=
==
11
00
0
lim
n
n
zz
n
n
zfzfzS
. (14.18)
Из (14.17), (14.18) следует (14.16).
Соотношение (14.16) записывают также в виде
( ) ( )
∑∑
∞
=
→
∞
=
→
=
11
00
limlim
n
n
zz
n
n
zz
zfzf
(14.19)
и говорят о почленном переходе к пределу в равномерно сходящемся ряде.
Равенство (14.19) означает, что для равномерно сходящегося ряда знак предела и знак суммирования можно
переставлять местами.
Ещё раз подчеркнём, что запись (14.19) понимается так: предел суммы ряда (14.1) в точке
0
z
равен сумме ряда
( )
∑
∞
=
→
1
0
lim
n
n
zz
zf
(в этой записи суммы рядов обозначены теми же символами, что и сами ряды).
Теорема 14.6. Пусть все члены функционального ряда (14.1) непрерывны на гладкой или кусочно-гладкой кривой
и
этот ряд сходится равномерно на
. Тогда числовой ряд, составленный из интегралов от членов ряда (14.1) вдоль кривой
,
сходится и его сумма равна интегралу от суммы
(
)
zS
ряда (14.1) вдоль кривой
:
( ) ( )
1
n
n
f z dz S z dz
∞
=
γ γ
=
∑
∫ ∫
. (14.20)

Страницы