Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Пусть
Ν∈k
,
k
фиксировано. Рассмотрим ряд
(
)
( )
1
1
0
n
k
n
f z
z z
∞
+
=
−
∑
. (14.26)
Рассмотрим функцию
( )
( )
1
0
1/
k
z z z
+
ϕ = −
. В силу (14.25) для
L
∈
∀
получаем
( )
( )
1 1 1
00
1 1 1
k k k
z
d
z z
z z
+ + +
ϕ = = ≤
−
−
,
т.е. функция
(
)
zϕ
ограничена по модулю на множестве
L
. По условию теоремы ряд (14.1) сходится равномерно в
D
, в
частности, он сходится равномерно на
D
L
⊂
. Следовательно, в силу теоремы 14.3, ряд (14.26) сходится равномерно на
L
к
функции
( ) ( )
( )
1
0
/
k
S z S z z z
+
= −
%
.
Имеем:
а) члены
( )
(
)
( )
1
0
n
n
k
f z
g z
z z
+
=
−
,
Ν
∈
n
,
ряда (14.26) непрерывны на кривой
L
(каждая функция
(
)
zg
n
аналитична на
L
как отношение двух аналитических на
L
функций, следовательно, в силу замечания 9.3,
(
)
zg
n
непрерывна на
L
);
б) ряд (14.26) сходится равномерно на
L
. Следовательно, в силу теоремы 14.6
( ) ( )
1
n
n
L L
S z dz g z dz
∞
=
=
∑
∫ ∫
%
,
т.е.
(
)
( )
(
)
( )
1 1
1
0 0
n
k k
n
L L
S z f z
dz dz
z z z z
∞
+ +
=
=
− −
∑
∫ ∫
. (14.27)
Функции
(
)
zS
,
(
)
zf
n
,
Ν
∈
n
, аналитичны в области
D
, в частности, они аналитичны в односвязной области
DI
L
⊂
и на
ёе границе
L
. Тогда в силу следствия 12.3
(
)
( )
( )
( )
0
1
0
2
!
k
k
L
S z
i
dz S z
k
z z
+
π
=
−
∫
,
(
)
( )
( )
( )
0
1
0
2
!
n
k
n
k
L
f z
i
dz f z
k
z z
+
π
=
−
∫
,
Ν
∈
∀
n
,
и соотношение (14.27) принимает вид
( ) ( )
∑
∞
=
=
1
0
)(
0
)(
n
k
n
k
zfzS
.
Значит, в силу произвольности выбора
Dz ∈
0
, справедлива формула (14.22).
Соотношение (14.22) записывают также в виде
( ) ( )
( )
( )
1 1
k
k
n n
n n
f z f z
∞ ∞
= =
=
∑ ∑
,
Ν∈∀k
, (14.28)
и говорят о почленном дифференцировании функционального ряда.
Равенство (14.28) означает, что для равномерно сходящегося ряда знак производной и знак суммирования можно
переставлять местами.
Теорема 14.7 называется также теоремой о почленном дифференцировании функционального ряда.
Замечание 14.1. Теорема Вейерштрасса сохраняет силу, если в качестве
D
выступает многосвязная область.
Действительно, пусть
D
– многосвязная область. Зафиксируем произвольную точку
Dz ∈
0
. Рассмотрим
(
)
DzO ⊂
δ 0
. В
силу теоремы 14.7 сумма
(
)
zS
аналитична в
(
)
0
zO
δ
, в частности,
(
)
zS
аналитична в точке
0
z
. Следовательно, в силу
произвольности выбора точки
Dz ∈
0
,
(
)
zS
аналитична в
D
.
Частным случаем функциональных рядов с комплексными членами являются степенные ряды.
Степенным рядом с комплексными членами называется ряд вида

Страницы