Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Значение
Gz ∈
0
называется точкой сходимости функционального ряда (14.1), если соответствующий числовой ряд
(14.2) сходится.
Областью сходимости функционального ряда (14.1) называется множество всех его точек сходимости.
Заметим, что область сходимости функционального ряда не обязательно является открытым множеством, т.е. не
обязательно является областью в смысле определения 7.13.
Обозначим область сходимости функционального ряда (14.1) через D. Ясно, что
GD
⊆
.
n-й частичной суммой функционального ряда (14.1) называется сумма его первых n членов:
( ) ( )
∑
=
=
n
k
kn
zfzS
1
.
Если
D
z
∈
, то соответствующий числовой ряд
( )
∑
∞
=1n
n
zf
сходится. Следовательно, по определению сходимости числового ряда, существует конечный предел
(
)
zS
n-й частичной
суммы
(
)
zS
n
при
∞
→
n
:
(
)
(
)
zSzS
n
n ∞→
= lim
. (14.3)
Суммой функционального ряда (14.1) называется функция
(
)
zS
, определяемая на области сходимости этого ряда с
помощью соотношения (14.3)
Если
(
)
zS
– сумма функционального ряда (14.1), то используют обозначение
(
)
(
)
(
)
......)(
21
++++= zfzfzfzS
n
или
( ) ( )
∑
∞
=
=
1n
n
zfzS
.
n-м остатком (или остатком после n-го члена) функционального ряда (14.1) называется функциональный ряд,
получаемый из ряда (14.1) путём отбрасывания его первых n членов, т.е. функциональный ряд вида
(
)
(
)
(
)
......
21
++++
+++
zfzfzf
mnnn
или в более краткой записи
( )
∑
∞
=
+
1m
mn
zf
. (14.4)
Теорема 14.1. Если
D
z
∈
, то при любом фиксированном n -й остаток (14.4) функционального ряда (14.1) сходится и
его сумма
(
)
zr
n
выражается формулой
(
)
(
)
(
)
zSzSzr
nn
−=
,
D
z
∈
. (14.5)
Теорема 14.2. Если
Gz
∈
и при некотором фиксированном n -й остаток (14.4) функционального ряда (14.1) сходится,
то сходится также ряд (14.1) и его сумма
(
)
zS
выражается формулой
(
)
(
)
(
)
zrzSzS
nn
+=
.
Доказательство теорем 14.1, 14.2 аналогично доказательству соответствующих утверждений для рядов с
вещественными членами [2.14, с. 260].
В силу (14.3), (14.5) получаем
(
)
0lim
=
∞→
zr
n
n
,
D
z
∈
∀
. (14.6)
Значение
Gz ∈
0
называется точкой абсолютной сходимости функционального ряда (14.1), если соответствующий
числовой ряд (14.2) сходится абсолютно, т.е. сходится ряд
( )
0
1
n
n
∞
=
∑
.
Областью абсолютной сходимости функционального ряда (14.1) называется множество всех его точек абсолютной
сходимости.

Страницы