Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
(
)
0
lim lim
n
n n
f z f z M M
→∞ →∞
= = =
.
Получили
(
)
0
f z M
=
. (13.8)
Имеем
Dz ∈
0
, следовательно,
(
)
(
)
0 0
|
O z O z D
δ δ
∃ ⊂
% %
. Так как
0
z
– граничная точка множества
G
, то
(
)
GzzOz ∈∈∃
δ
*0
~
*
|
.
Следовательно,
(
)
*
f z M
<
. (13.9)
Рассмотрим окружность
с центром в точке
0
z
радиуса
0*
zzr −=
. Заметим, что γ,
(
)
0
I O z
γ
δ
⊂
%
, следовательно, γ,
DI ⊂
γ
. Функция
)(
zf аналитична в односвязной области
γ
I и на её границе γ. Следовательно, по интегральной формуле
Коши
( )
(
)
0
0
1
2
f
f z d
i z
γ
ζ
= ζ
π ζ −
∫
. (13.10)
Функция
( )
f z
непрерывна в точке
*
z
, т.е.
(
)
(
)
*
*
lim
z z
f z f z
→
=
. (13.11)
Возьмём
(
)
*
0 | f z M
ε > < − ε
(такой выбор возможен в силу (13.9)) (рис. 13.2).
Рис. 13.2
Тогда, в силу (13.11), для числа
ε
−
M
(
)
|
*
zO
δ
∃
(
)
⇒∈∀
δ
*
zOz
(
)
f z M
⇒ < − ε
. Пусть
(
)
*1
zO
δ
∩γ=γ
,
12
\ γγ=γ
. Тогда
(
)
f z M
< − ε
,
1
γ∈∀z
; (13.12)
(
)
f z M
≤
,
2
γ∈∀z
. (13.13)
В силу свойства аддитивности интеграла (см. формулу (10.26)) равенство (13.10) можно записать в виде
( )
∫∫
γγ
ζ
−ζ
ζ
π
+ζ
−ζ
ζ
π
=
21
00
0
)(
2
1)(
2
1
d
z
f
i
d
z
f
i
zf
. (13.14)
Используя формулы (1.25), (1.20), (1.23), получаем из (13.14)
( )
1 2
0
0 0
1 ( ) 1 ( )
2 2
f f
f z d d
z z
γ γ
ζ ζ
≤ ζ + ζ
π ζ − π ζ −
∫ ∫
. (13.15)
Заметим, что
rz =−ζ
0
,
∈
ζ
∀
, (13.16)
в частности, для
1
γ∈ζ∀
,
2
γ∈ζ∀
. В силу (13.12), (13.16)
0 0
( )
( )
f
f M
z z r
ζ
ζ − ε
= <
ζ − ζ −
,
1
γ∈ζ∀
.
В силу (13.13), (13.16)
0 0
( )
( )
f
f M
z z r
ζ
ζ
= ≤
ζ − ζ −
,
2
γ∈ζ∀
.
Тогда в силу оценки (10.34)
1
1
0
( )
f M
d l
z r
γ
γ
ζ − ε
ζ ≤
ζ −
∫
, (13.17)

Страницы