Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
( ) ( )
( )
1 2
1 2
...
k
m
m m
Г
k
f z
dz
z z z z z z− − ⋅ ⋅ −
∫
,
где
Г
– замкнутый простой контур; функция
)(zf
аналитична на
Г
и в односвязной области
D
, ограниченной кривой
Г
;
Dzzz
k
∈ ..., , ,
21
,
Ν∈
k
mmm ..., , ,
21
, то применяют тот же способ, каким вычисляется контурный интеграл вида (12.14).
Докажем достаточное условие аналитичности функции в односвязной области.
Теорема 12.5. (теорема Морера). Пусть функция
)(zf
непрерывна в односвязной области
D
, а интеграл от этой
функции по любому замкнутому простому гладкому или кусочно-гладкому контуру
γ
, расположенному в
D
, равен нулю:
( )
0
f z dz
γ
=
∫
. (12.33)
Тогда функция
)(zf
аналитична в области
D
.
Из условия (12.33) следует, что для произвольных точек
Dzz ∈
21
,
и любых простых гладких или кусочно-гладких
кривых
D⊂γγ
21
,
, соединяющих точки
1
z
и
2
z
выполняется равенство
∫∫
γγ
=
21
)()( dzzfdzzf
(см. обоснование следствия 11.1). Следовательно, зафиксировав некоторую точку
Dz ∈
0
, можно рассмотреть интеграл с
переменным верхним пределом интегрирования:
∫
ζζ=
z
z
dfzF
0
)()(
,
D
z
∈
.
В силу теоремы 11.2 функция
)(zF
аналитична в области
D
и
)()( zfzF
=
, т.е. функция
)(zf
равна производной
аналитической функции
),(zF
а, значит, в силу следствия 12.1
)(zf
аналитична в
D
.
13. ПРИНЦИП МАКСИМУМА МОДУЛЯ
АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ, СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕГО
Докажем вначале два вспомогательных утверждения.
Лемма 13.1. Если функция
),(),()( yxivyxuzf
+=
комплексного переменного
iyxz
+
=
аналитична в области
D
и
const),(
≡
yxu
,
D
z
∈
∀
, (13.1)
то
const)(
≡
zf
,
D
z
∈
∀
.
Пусть выполнено условие (13.1). Тогда
(
)
0
,
=
∂
∂
x
yxu
,
(
)
0
,
=
∂
∂
y
yxu
,
D
z
∈
∀
. (13.2)
По условию функция
)(zf
аналитична в области
D
, следовательно, в силу теоремы 9.3 в области
D
выполняются условия
Коши-Римана
(
)
(
)
y
yxv
x
yxu
∂
∂
=
∂
∂ ,,
,
(
)
(
)
x
yxv
y
yxu
∂
∂
−=
∂
∂ ,,
,
D
z
∈
∀
. (13.3)
В силу (13.2), (13.3)
(
)
0
,
=
∂
∂
x
yxv
,
(
)
0
,
=
∂
∂
y
yxv
,
D
z
∈
∀
,
следовательно,
const,),( ≡yxv .Dz
∈
∀
Имеем
const),( ≡yxu
и
const),( ≡yxv
D
z
∈
∀
const),(),()( ≡+=⇒ yxivyxuzf
для
D
z
∈
∀
.
Лемма 13.2.
Если функция
),(),()( yxivyxuzf +=
комплексного переменного
iyxz
+
=
аналитична в области
D
и
( ) const
f z ≡
,
D
z
∈
∀
, (13.4)
то
const)( ≡zf
,
D
z
∈
∀
.
Пусть выполнено условие (13.4):
( )
f z M
≡
для
D
z
∈
∀
, где
M
– константа. Если
0
=
M
, то
( ) 0
f z
≡
,
D
z
∈
∀
0)( ≡⇒ zf
,
D
z
∈
∀
. Пусть
0
≠
M
. Рассмотрим функцию

Страницы