Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 12.6
(на рис. 12.6 в качестве
D
изображена двусвязная область
D
с границей
10
ГГГ
D
∪=
). По условию теоремы функция
)(ζf
аналитична в области
D
, в частности, она аналитична в односвязной области
1
D
и на её границе
.
γ
Следовательно,
применима интегральная формула Коши, в силу которой
( )
(
)
1
2
f
f z d
i z
γ
ζ
= ζ
π ζ −
∫
. (12.28)
Функция
)(ζf
аналитична на
γ
, следовательно, в силу замечания 9.3.
)(ζf
непрерывна на
,
γ
а, значит, выражение в правой
части (12.28) есть интеграл типа Коши по контуру
γ
от функции
)(zf
. Тогда, в силу теоремы 12.3, для
Ν
n
)(
)(
zf
n
∃
и в
силу (12.26) справедлива формула (12.27).
Замечание 12.1. Значение интеграла в правой части формулы (12.27) не зависит от выбора контура
γ
(важно лишь,
чтобы контур
γ
удовлетворял условиям теоремы 12.4).
Действительно, пусть
γ
~
– какой-либо другой контур, удовлетворяющий условиям теоремы 12.4. Возьмём
окружность
*
γ
с центром в точке
z
, такую что
γ
⊂γ I
*
и
γ
⊂γ
~
*
I . Рассмотрим двусвязные области G
~
с границей
*
~
~
γ∪γ=
G
Г
и G с границей
*
γ∪γ=
G
Г
. По интегральной теореме Коши для двусвязной области (см. формулу (11.31))
получаем
(
)
( )
(
)
( )
*
1 1n n
f f
d d
z z
+ +
γ γ
ζ ζ
ζ = ζ
ζ − ζ −
∫ ∫
%
,
(
)
( )
(
)
( )
*
1 1n n
f f
d d
z z
+ +
γ γ
ζ ζ
ζ = ζ
ζ − ζ −
∫ ∫
.
Следовательно,
(
)
( )
(
)
( )
1 1n n
f f
d d
z z
+ +
γ γ
ζ ζ
ζ = ζ
ζ − ζ −
∫ ∫
%
.
Замечание 12.2. В случае односвязной области
D
требование о том, чтобы внутренность контура
γ
содержалась в
D
,
становится в формулировке теоремы 12.4 лишним (оно выполняется в силу односвя-зности области
D
).
В качестве контура интегрирования в формуле (12.27) удобно рассматривать окружность
γ
с центром в точке
z
, такую
что
D
γ
и
DI ⊂
γ
.
Следствие 12.1. Производная любого порядка аналитической в области функции является аналитической функцией в
этой области.
Следствие 12.2. Для функции
)(zf
, аналитической в односвя-зной области
D
и на её границе
Г
, т.е. аналитической в
некоторой области
DG ⊃
, где
Г
D
D
∪
=
, справедлива формула
( )
(
)
( )
( )
0
1
0
!
2
n
n
Г
f
n
f z d
i
z
+
ζ
= ζ
π
ζ −
∫
,
0
z D
∀ ∈
,
n
∀ ∈
N
. (12.29)
Действительно, чтобы получить формулу (12.29) достаточно в равенстве (12.27) взять в качестве
z
точку
0
z
, а в
качестве
γ
контур Г.
Назовём соотношение (12.29) обобщённой интегральной формулой Коши.
Следствие 12.3. Для функции
)(
zf
, аналитической в односвязной области
D
и на её границе
Г
справедлива формула
(
)
( )
( )
( )
0
1
0
2
!
n
n
Г
f
i
d f z
n
z
+
ζ
π
ζ =
ζ −
∫
,
0
z D
∀ ∈
,
n
∀ ∈
N
. (12.30)
Формула (12.30) называется следствием обобщённой интегральной формулы Коши.

Страницы