Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Заменяя в формулах (12.29), (12.30) переменную интегрирования
ζ
на
z
, получаем
( )
(
)
( )
( )
0
1
0
!
2
n
n
Г
f z
n
f z dz
i
z z
+
=
π
−
∫
,
0
z D
∀ ∈
,
n
∀ ∈
. (12.31)
(
)
( )
( )
( )
0
1
0
2
!
n
n
Г
f z
i
dz f z
n
z z
+
π
=
−
∫
,
0
z D
∀ ∈
,
n
∀ ∈
. (12.32)
Формула (12.32) применяется при вычислении контурных интегралов (ещё раз подчеркнём, что эта формула
справедлива при условии, что функция
)(
zf
аналитична на замкнутом простом гладком или кусочно-гладком контуре
Г
и в
односвязной области D, ограниченной этим контуром, т.е.
)(
zf
не имеет особых точек в замкнутой области
Г
D
D
∪
=
).
Пример 12.3. Вычислим контурный интеграл
( ) ( )
3
2 4
Г
zdz
z z
− +
∫
,
где
Г
– окружность с центром в точке
3
*
=z
радиуса 6. Подынтегральная функция
)4()2(
)(
3
+−
=
zz
z
zg
аналитична на множестве
{
}
2 ;4\ −Χ
как частное двух аналитических на этом множестве функций, т.е.
)(zg
имеет лишь две
особые точки
4
1
−=z
,
2
2
=z
. Пусть
D
– внутренность кривой
Г
(рис. 12.7).
Рис. 12.7
Запишем функцию
(
)
zg
в виде
( )
12
2
4
)(
+
−
+
=
z
z
z
zg
.
Функция
4
)(
+
=
z
z
zf
аналитична в замкнутой области
Г
D
D
∪
=
(
)(zf
имеет единственную особую точку
4
1
−=z
, но
Dz ∈
1
). Следовательно, применима формула (12.32):
( ) ( ) ( )
( )
3 2 1
2
4
2
2!
2 4 2
Г Г
z
zdz i
z
I dz f
z z z
+
π
+
′′
= = =
− + −
∫ ∫
.
Применяя формулу (8.44), получаем
22
)4(
4
)4(
1)4(1
)(
+
=
+
⋅−+⋅
=
′
zz
zz
zf
,
34
)4(
8
)4(2
)4(
4
)(
+
−=+⋅
+
−=
′′
z
z
z
zf
.
Тогда
27
1
)2( −=
′′
f
,
−⋅
π
=
27
1
!2
2 i
I
,
27
i
I
π
−=
.
Если требуется вычислить контурный интеграл вида

Страницы