Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

тоже является непрерывной функцией на ограниченном замкнутом множестве
γ
(напомним, что
)(ζg
– вещественная
функция двух вещественных переменных). Тогда по первой теореме Вейерштрасса для функций нескольких переменных
[2.8, с. 496]
|0>∃K
Kf ≤ζ)(
,
γ
∈
ζ
∀
. (12.23)
Из (12.22) следует в силу (12.19), (12.20), (12.23), что
3
2
( )
K
g
d
ζ ≤
,
γ
∈
ζ
∀
.
Следовательно, в силу (10.34)
3
2
( )
K
d
γ
γ
ζ ζ ≤
∫
, (12.24)
где
γ
l – длина кривой
γ
. В силу (12.21), (12.24)
( )
2 3
( ) 1 ( )
2
Kl
I z f
d z
z i
d
z
γ
γ
∆ ζ
− ζ ≤ ∆
∆ π
π
ζ −
∫
. (12.25)
Если
0
→
∆
+
∆
=
∆
yixz
,
то
( ) ( )
0
22
→∆+∆=∆
yxz
.
Следовательно
,
при
0
→
∆
z
правая
часть
неравенства
(12.25)
стремится
к
нулю
.
Тогда
и
левая
часть
неравенства
(12.25)
при
0
→
∆
z стремится
к
нулю
,
а
это
означает
в
силу
(5.11)
справедливость
утверждения
(12.18).
Справедливо
более
сильное
утверждение
[1.5,
с
. 45].
Теорема 12.3.
Функция
)(
zI
бесконечно
дифференцируема
на
множестве
γ\ Χ
и
для
её
производной
n
-
го
порядка
)( Ν∈
n
справедлива
формула
( )
∫
γ
+
ζ
−ζ
ζ
π
=
d
z
f
i
n
zI
n
n
1
)(
)(
2
!
)(
. (12.26)
Теорема
12.3
доказывается
методом
математической
индукции
:
при
1
=
n
теорема
12.3
доказана
(
см
.
теорему
12.2);
предполагается
,
что
теорема
верна
при
kn =
,
т
.
е
.
( )
∫
γ
+
ζ
−ζ
ζ
π
=∃ d
z
f
i
k
zI
k
k
1
)(
)(
2
!
)(
и
доказывается
,
что
теорема
верна
при
1
+
=
kn
:
( )
( 1) ( )
2
( 1)! ( )
( ) ( )
2
k k
k
k f
I z I z d
i
z
+
+
γ
+ ζ
′
∃ = = ζ
π
ζ −
∫
,
т
.
е
.
доказывается
,
что
( )
( )
2
0
( ) ( 1)! ( )
lim
2
k
k
z
I z k f
d
z i
z
+
∆ →
γ
∆ + ζ
∃ = ζ
∆ π
ζ −
∫
,
где
)()()(
)()()(
zIzzIzI
kkk
−∆+=∆
(
такое
доказательство
аналогично
доказательству
теоремы
12.2,
однако
,
из
-
за
увеличения
показателя
степени
в
знаменателе
подынтегральной
функции
доказательство
усложняется
,
при
этом
используется
бином
Ньютона
для
комплексных
чисел
).
С
помощью
теоремы
12.3
доказывается
следующий
фундаментальный
факт
теории
функций
комплексного
переменного
.
Теорема 12.4.
Аналитическая
в
области
D
функция
)(zfw =
бесконечно
дифференцируема
в
этой
области
и
её
производная
n
-
го
порядка
(
Ν
∈
n
)
представима
в
виде
( )
(
)
( )
( )
1
!
2
n
n
f
n
f z d
i
z
+
γ
ζ
= ζ
π
ζ −
∫
, (12.27)
где
γ
–
любой
замкнутый
простой
гладкий
или
кусочно
-
гладкий
контур
,
расположенный
в
области
D
и
охватывающий
точку
z
,
внутренность
которого
содержится
в
D
.
Зафиксируем
произвольную
точку
D
z
∈
.
Возьмём
какой
-
либо
контур
γ
,
удовлетворяющий
условиям
,
указанным
в
формулировке
теоремы
.
Пусть
1
DI
=
γ
,
где
γ
I –
внутренность
контура
γ
(
рис
. 12.6).

Страницы