Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Возьмём
2
|0
d
<δ>δ
. Рассмотрим приращение
)(| zOzzz
δ
∈∆+∆
. Тогда
2
)(
d
zz >∆+−ζ
,
γ
∈
ζ
∀
(12.20)
(рис. 12.5).
Рис. 12.5
Используя формулы (10.20), (10.21), получаем
=−∆+=∆ )()()( zIzzIzI =ζ
−ζ
ζ
π
−ζ
∆+−ζ
ζ
π
∫∫
γγ
d
z
f
i
d
zz
f
i
)(
2
1
)(
)(
2
1
[ ]
( )
1 ( ) ( ) 1 ( )
2 ( ) 2 ( )
f f f z
d d
i z z z i z z z
γ γ
ζ ζ ζ ∆
= − ζ = ζ =
π ζ − + ∆ ζ − π ζ − + ∆ ζ −
∫ ∫
[ ]
( )
( )
2 ( )
z f
d
i z z z
γ
∆ ζ
= ζ
π ζ − + ∆ ζ −
∫
;
[ ]
( )
( ) 1 ( )
2 ( )
I z f
d
z i z z z
γ
∆ ζ
= ζ
∆ π ζ − + ∆ ζ −
∫
;
( )
[ ]
( )
2
( ) 1 ( ) 1 ( )
2 2 ( )
I z f f
d d
z i i z z z
z
γ γ
∆ ζ ζ
∆ π π ζ − + ∆ ζ −
ζ −
∫ ∫
( )
[ ]
( )
( )
2 2
1 ( ) 1 ( ) ( )
2 2 ( )
f f f
d d
i i z z z
z z
γ γ
ζ ζ ζ
− ζ = − ζ =
π π ζ − + ∆ ζ −
ζ − ζ −
∫ ∫
[ ]
( )
[ ]
( )
2 2
1 ( ) ( )
2 2
( ) ( )
f z z f
d d
i i
z z z z z z
γ γ
ζ ∆ ∆ ζ
= ζ = ζ
π π
ζ − + ∆ ζ − ζ − + ∆ ζ −
∫ ∫
.
Итак,
( )
=ζ
−ζ
ζ
π
−
∆
∆
∫
γ
d
z
f
iz
zI
2
)(
2
1
)(
[ ]
( )
2
( )
2
( )
z f
d
i
z z z
γ
∆ ζ
ζ
π
ζ − + ∆ ζ −
∫
.
Используя формулы (1.20), (1.23), получим
( )
=ζ
−ζ
ζ
π
−
∆
∆
∫
γ
d
z
f
iz
zI
2
)(
2
1
)(
[ ]
( )
2
( )
2
( )
z
f
d
z z z
γ
∆
ζ
ζ
π
ζ − + ∆ ζ −
∫
. (12.21)
Подынтегральная функция
[ ]
( )
2
( )
( )
( )
f
g
z z z
ζ
ζ =
ζ − + ∆ ζ −
непрерывна на кривой
γ
как отношение двух непрерывных на
γ
функций. Следовательно, (см. замечание 5.10) её модуль
2
( )
( )
( )
f
g
z z z
ζ
ζ =
ζ − + ∆ ζ −
, (12.22)

Страницы