Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
( )( )
(
)
( )( )
(
)
( )( )
1 2
1 2 1 2 1 2
Г Г Г
f z f z f z
dz dz dz
z z z z z z z z z z z z
= +
− − − − − −
∫ ∫ ∫
. (12.15)
Каждый из интегралов в правой части (12.15) вычисляется по формуле (12.13):
( )
( )( )
(
)
( )
1
1 1
2
1 2 1 2
2
z z
Г Г
f z
f z f z
z z
dz dz i
z z z z z z z z
=
−
= = π ⋅
− − − −
∫ ∫
,
( )
( )( )
(
)
( )
2
2 2
1
1 2 2 1
2
z z
Г Г
f z
f z f z
z z
dz dz i
z z z z z z z z
−
= = π ⋅
− − − −
∫ ∫
.
Аналогично поступают, если в знаменателе подынтегрального выражения в интеграле типа (12.14) содержится более двух
множителей.
Пример 12.2. Вычислим контурный интеграл
( )
( )
2
9 5
Г
dz
z z
+ +
∫
,
где
Г
– окружность с центром в точке
0
*
=z
радиуса 4. Подынтегральная функция
( )
( )
( )
2
1
9 5
g z
z z
=
+ +
аналитична на множестве
{
}
5 ;3 ;3\ −− iiΧ
, т.е.
)(zg
имеет лишь три особые точки
iz 3
1
−=
,
iz 3
2
=
,
5
3
−=z
. Пусть
D
–
внутренность кривой
Г
. Рассмотрим окружности
1
Г
,
2
Г
с центром в точках
iz 3
1
−=
и
iz 3
2
=
соответственно, такие что
DГГ ⊂
21
,
. Пусть
1
D
и
2
D
– внутренности кривых
1
Г
и
2
Г
соответственно (рис. 12.4).
Рис. 12.4
Рассмотрим трёхсвязную область
Ω
с границей
21
ГГГГ ∪∪=
Ω
. Функция
(
)
zg
аналитична на
Ω
∪Ω=Ω Г , ибо её
особые точки
iz 3
1
−= ,
iz 3
2
= ,
5
3
−=
z
не принадлежат множеству
Ω
. По формуле (11.30)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 2
2 2 2
9 5 9 5 9 5
Г Г Г
dz dz dz
I
z z z z z z
= = +
+ + + + + +
∫ ∫ ∫
.
Вычислим
( )
( )
1
1
2
9 5
Г
dz
I
z z
=
+ +
∫
.
Запишем функцию
(
)
zg
в виде
( )( )
1
3 5
( )
( 3 )
z i z
g z
z i
− +
=
− −
.

Страницы