Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

( )
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0
0
0 0 0
1 1 1
2 2 2
f z f f z
f
A f z d d d
i z i z i z
γ γ γ
ζ −
ζ
− = ζ − ζ = ζ
π ζ − π ζ − π ζ −
∫ ∫ ∫
.
Используя оценки (10.36), (12.8) и равенства ,2πρ=
γ
l
ρ=−ζ
0
z
,
γ
∈
ζ
∀
, имеем
( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
0
0 0
1 1
2 2
f f z f f z
A f z d d
i z z
γ γ
ζ − ζ −
− = ζ = ζ ≤
π ζ − π ζ −
∫ ∫
( )
(
)
(
)
(
)
0
0
0 0
1 1
max max
2 2
f f z
f f z
l l
z z
γ γ
ζ∈γ ζ∈γ
ζ −
ζ −
π ζ − π ζ −
ε=
ρ
ε
⋅πρ
π
=
ρ
ε
⋅
π
≤
γ
2
2
1
2
1
l
.
Получили
(
)
0
A f z
− ≤ ε
, что противоречит условию (12.6). .
Соотношение (12.2) называется интегральной формулой Коши.
Таким образом, если функция
)(zf
аналитична в односвязной области
D
и на её границе
Г
, то интегральная формула
Коши позволяет восстановить значение этой функции в произвольной точке области
D
через её значения на границе
Г
, ибо
для вычисления интеграла в правой части формулы (12.2) достаточно знать значения функции
)(zf
на границе
Г
.
Заменяя в формуле (12.2.)
0
z
на
z
, получаем
( )
(
)
1
2
Г
f
f z d
i z
ζ
= ζ
π ζ −
∫
,
D
z
∈
∀
. (12.9)
Правая часть формулы (12.9) называется интегралом Коши по контуру
Г
от функции
)(zf
. Обозначение:
( )
(
)
1
2
Г
f
I z d
i z
ζ
= ζ
π ζ −
∫
. (12.10)
Заметим, что интеграл Коши (12.10) определён для любого
Гz \Χ∈
. Если
D
z
∈
, то в силу (12.9)
)()( zfzI =
. Если
Dz \Χ∈ ,
где
Г
D
D
∪
=
,
то
подынтегральная
функция
( )
(
)
z
f
zg
−ζ
ζ
=
аналитична
в
замкнутой
области
D
.
Следовательно
,
в
силу
теоремы
11.1
′
и
замечания
11.2
( )
0
Г
g d
ζ ζ =
∫
и
,
значит
,
0)( =zI
.
Получили
∈
∈
=
.\ ,0
, ),(
)(
Dz
Dzzf
zI
Χ
Из
(12.2)
следует
,
что
(
)
( )
0
0
2
Г
f
d if z
z
ζ
ζ = π
ζ −
∫
. (12.11)
Формула
(12.11)
называется
следствием
интегральной
формулы
Коши
.
Заменяя
в
формулах
(12.2), (12.11)
ζ
на
z
,
получаем
( )
(
)
0
0
1
2
Г
f z
f z dz
i z z
=
π −
∫
,
0
z D
∀ ∈
, (12.12)
(
)
( )
0
0
2
Г
f z
dz if z
z z
= π
−
∫
,
0
z D
∀ ∈
. (12.13)
Формула
(12.13)
применяется
при
вычислении
контурных
интегралов
,
т
.
е
.
интегралов
по
замкнутым
контурам
.
Ещё
раз
подчеркнём
,
что
формула
(12.13)
справедлива
при
условии
,
что
функция
)(zf
аналитична
на
замкнутом
простом
контуре
Г
и
в
односвязной
области
D
,
ограниченной
этим
контуром
,
т
.
е
.
не
имеет
особых
точек
в
замкнутой
области
Г
D
D
∪
=
.
Пример 12.1.
Вычислим
контурный
интеграл
2
1
Г
zdz
z
−
∫
,
где
Г
–
окружность
с
центром
в
точке
2
*
−=z
радиуса
2.
Подынтегральная
функция
1
)(
2
−
=
z
z
zg

Страницы