Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 12.1
Рассмотрим двусвязную область
G
с границей
γ∪= ГГ
G
. Подынтегральная функция
0
)(
)(
z
f
g
−ζ
ζ
=ζ
имеет особую точку
,
0
z=ζ
но
G
ГGGz ∪=∈
0
. Следовательно,
)(ζg
аналитична в
G
. В силу формулы (11.31)
( ) ( )
Г
g d g d
γ
ζ ζ = ζ ζ
∫ ∫
.
Тогда
(
)
(
)
0 0
1 1
2 2
Г
f f
d d
i z i z
γ
ζ ζ
ζ = ζ
π ζ − π ζ −
∫ ∫
. (12.3)
(
)
DzS ⊂γ=γ∀
ρ
|
0
. (12.4)
Так как
0
z фиксировано, то
(
)
0
1
const
2
Г
f
d A
i z
ζ
ζ = −
π ζ −
∫
. (12.5)
В силу (12.3), (12.5)
(
)
0
1
const
2
f
d A
i z
γ
ζ
ζ = −
π ζ −
∫
для любой окружности
, удовлетворяющей условию (12.4).
Для справедливости (12.2) осталось показать, что
(
)
0
zfA
=
. :
(
)
0
zfA
≠
. Тогда
(
)
0
0
≠−
zfA , следовательно,
(
)
0
0
A f z
− >
. Возьмём произвольное фиксированное
0
>
ε
, удовлетворяющее условию
(
)
0
A f z
ε < −
. (12.6)
По условию теоремы функция
)(ζf
аналитична в области
D
, в частности, она аналитична в точке
0
z
. Следовательно, в
силу теоремы 9.1
)(ζ
f
непрерывна в некоторой окрестности точки
0
z
, в частности, непрерывна в точке
0
z
. По определению
непрерывности функции в точке, для взятого числа
0
>
ε
(
)
|
0
zO
δ
∃
(
)
(
)
(
)
0 0
O z f f z
δ
∀ζ ∈ ⇒ ζ − < ε
. (12.7)
Возьмём радиус
ρ
окружности
(
)
0
zS
ρ
=γ
, удовлетворяющей условию (12.4), таким что
δ
<
ρ
. Тогда
(
)
0
zO
δ
⊂γ
,
следовательно, в силу (12.7)
(
)
(
)
0
f f z
∀ζ ∈ γ ⇒ ζ − < ε
. (12.8)
В силу формулы (12.1) справедливо представление
( )
(
)
0
0
0
1
2
f z
f z d
i z
γ
= ζ
π ζ −
∫
.
Тогда

Страницы