Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

( ) ( ) ( ) ( )
0 1 2 1
...
n
Г Г Г Г
f z dz f z dz f z dz f z dz
−
= − − − −
∫ ∫ ∫ ∫
или в силу свойства (10.24)
( ) ( ) ( ) ( )
0 1 2 1
...
n
Г Г Г Г
f z dz f z dz f z dz f z dz
−
= + + +
∫ ∫ ∫ ∫
. (11.30)
Таким образом, если функция
)(zf
аналитична в n-связной области
D
и на её границе
D
Г
, то интеграл функции
)(zf
вдоль положительно ориентированной внешней границы
0
Г
равен сумме интегралов функции
)(zf
вдоль положительно
ориентированных замкнутых контуров
i
Г
,
11
−
≤
≤
ni
, составляющих внутреннюю границу области
D
.
В частности, если функция
)(zf
аналитична в двусвязной области
D
и на её границе
10
ГГГ
D
∪=
, то
( ) ( )
0 1
Г Г
f z dz f z dz
=
∫ ∫
(11.31)
(рис. 11.7).
Рис. 11.7
12. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ. ИНТЕГРАЛ
ТИПА КОШИ. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРЕМА МОРЕРА
Интегральная формула Коши; интеграл Коши; интеграл типа Коши; теорема о бесконечной дифференцируемости
интеграла типа Коши; теорема о бесконечной дифференцируемости аналитической функции; обобщённая интегральная
формула Коши; теорема Морера.
В дальнейшем понадобится следующий факт: если
γ
– окружность с центром в точке
0
z
радиуса
ρ
, то
0
2
d
z
γ
ζ
= π
ζ −
∫
. (12.1)
Действительно,
0
d
z
γ
ζ
ζ −
∫
0
2 2
2
0
0
0 0
, 0 2
2
i
i
i
i
i
z e
e id
z e i d i i
e
d e id
ϕ
π π
ϕ
π
ϕ
ϕ
ϕ
ζ − = ρ ≤ ϕ ≤ π
ρ ϕ
= ζ = + ρ = = ϕ = ϕ = π
ρ
ζ = ρ ϕ
∫ ∫
.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 12.1. Пусть функция
)(zf
аналитична в односвязной области
D
и на её границе
Г
. Тогда справедлива
формула
( )
(
)
0
0
1
2
Г
f
f z d
i z
ζ
= ζ
π ζ −
∫
,
Dz ∈∀
0
. (12.2)
Зафиксируем произвольное
Dz ∈
0
. Рассмотрим окружность
γ
с центром в точке
0
z
радиуса
ρ
, такую что
D
⊂
γ
(рис. 12.1).

Страницы