Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

[ ]
∫∫∫
=
′
=
′
γ
2
1
2
1
)()()()()()(
z
z
z
z
zfdzgdzzgzfdzzgzf
,
[ ]
∫∫∫
=
′
=
′
γ
2
1
2
1
)()()()()()(
z
z
z
z
zgdzfdzzgzfdzzgzf
.
Тогда
[ ] [ ]
∫∫∫∫
+=
′
+
′
γγ
2
1
2
1
)()()()()()()()(
z
z
z
z
zgdzfzfdzgdzzgzfdzzgzf
. (11.24)
С другой стороны, используя формулы (10.19), (8.43), (11.13), получаем
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f z g z dz f z g z dz f z g z f z g z dz
γ γ γ
′ ′ ′ ′
+ = + =
∫ ∫ ∫
[ ]
2
1
( ) ( ) ( ) ( )
z
z
f z g z f z g z dz
′ ′
= + =
∫
[ ] [ ]
2 2
2
1
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
z z
z
z z
f z g z dz d f z g z f z g z
′
= = =
∫ ∫
. (11.25)
В силу (11.24), (11.25)
[ ] [ ]
2 2
2
1
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
z z
z
z z
g z d f z f z d g z f z g z+ =
∫ ∫
,
откуда следует формула (11.23).
Пример 11.2. Вычислим
∫
γ
zdzz cos
,
где
γ
– правая половина окружности
2
2
1
i
S
с началом в точке
iz =
1
и концом в точке
0
2
=z
(рис.11.5).
Рис. 11.5
В силу (8.39)
(
)
zdzdz sincos =
. Функции
z
,
zsin
аналитичны на комплексной плоскости
Χ
(см. примеры 9.1, 9.3). Кривая
γ
является простой гладкой кривой. Следовательно, применима формула (11.23):
( )
0 0
0
cos sin sin sin
i
i i
I z zdz zd z z z zdz
γ
= = = − =
∫ ∫ ∫
0
0sin 0 sin cos sin cos0 cos sh1 1 ch1
i
i i z i i i
= − + = − + − = + − =
e
eeee 1
1
22
1
1111
−=
+
−
−
+=
−−
(использованы формулы (8.40), (6.36), (6.37), (6.30)). Получили
e
I
1
1−=
.
Докажем интегральную теорему Коши для многосвязной области (интегральную теорему Коши о составном контуре).

Страницы