Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

( )
=ζζ+ζζ=ζζ=ζζ=
∫∫∫∫
γγ
1
1
0
)()()()(
1
dfdfdfdfzF
L
z
z
∫∫∫
γγ
ζζ+=ζζ+ζζ=
110
)()()()( dfzFdfdf
z
z
.
Тогда
(
)
(
)
∫
γ
ζζ=−
1
)(
1
dfzFzF
. (11.19)
В силу (10.21), (10.25)
∫
γ
ζ
−
=
1
)(
1
)(
1
dzf
zz
zf
. (11.20)
В силу (11.19), (11.20) и формулы (10.20)
(
)
(
)
[ ]
1
1
1 1
1
( ) ( ) ( )
F z F z
f z f f z d
z z z z
γ
−
− = ζ − ζ
− −
∫
.
В силу включения
)(zO
δ
⊂γ
и соотношения (11.18)
( ) ( )
2
f f z
ε
ζ − <
,
1
γ∈ζ∀
.
Тогда, используя оценку (10.34) и учитывая равенство
,
1
1
zzl −=
γ
имеем
( ) ( )
[ ]
1
1
1 1
1
( ) ( ) ( )
F z F z
f z f f z d
z z z z
γ
−
− −
∫
[ ]
1
1
1
1 1 1
1 1 1
( ) ( )
2 2 2
f f z d l z z
z z z z z z
γ
γ
ε ε ε
= ζ − ζ ≤ = − = < ε
− − −
∫
,
т.е.
(
)
(
)
1
1
( )
F z F z
f z
z z
−
− < ε
−
.
Утверждение (11.17) доказано.
В силу теоремы 11.2 функция (11.14) является первообразной функции
)(zf
в области
D
.
Замечание 11.3. Если
)(Ф
1
z
,
)(Ф
2
z
– первообразные для функции
)(zf
в области
D
, то
const)(Ф)(Ф
21
−=− Czz
,
D
z
∈
∀
.
Действительно, положим
).(Ф)(Ф)(
21
zzzg −=
Тогда
=
′
)(zg
[
]
.0)()()(Ф)(Ф)(Ф)(Ф
2121
=−=
′
−
′
=
′
−= zfzfzzzz
Получили
,0)( =
′
zg
D
z
∈
∀
. Пусть
),(),()( yxivyxuzg +=
. Тогда в силу
формул (8.32), (8.35)
(
)
0
,
=
∂
∂
x
yxu
,
(
)
0
,
=
∂
∂
y
yxu
const),(
1
−=⇒ Cyxu
,
Dyx ∈∀ ),(
;
(
)
0
,
=
∂
∂
x
yxv
,
(
)
0
,
=
∂
∂
y
yxv
const),(
2
−=⇒ Cyxv
,
Dyx ∈∀ ),(
.
Следовательно,
const),(),()(
21
−=+=+= CiCCyxivyxuzg
,
Dyx ∈∀ ),(
, т.е.
const)(Ф)(Ф
21
−=− Czz
,
D
z
∈
∀
.
Теорема 11.3. Пусть функция
)(zf
аналитична в односвязной области
D
, а
)(Ф z
– некоторая первообразная функции
)(zf
в D. Тогда для любых
Dzz ∈
21
,
справедлива формула (11.13).
Рассмотрим произвольные фиксированные
Dzz ∈
21
,
. В силу замечания 9.3 функция
)(zf
непрерывна в области
D
. Следовательно, в силу теоремы 11.2 функция
∫
ζζ=
z
z
dfzF
1
)()(
,
D
z
∈
,
является первообразной функции
)(zf
в области
D
.

Страницы