Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В силу замечания 11.3
CzzF += )(Ф)(
, где
const
−
C
, т.е.
Czdf
z
z
+=ζζ
∫
)(Ф)(
1
. (11.21)
Полагая в (11.21)
1
zz =
, получаем
Cz += )(Ф0
1
, откуда
).(Ф
1
zC −=
Тогда (11.21) принимает вид
( ) ( )
1
ФФ)(
1
zzdf
z
z
−=ζζ
∫
. (11.22)
Полагая в (11.22)
2
zz =
, получаем формулу (11.13).
Пример 11.1. Вычислим
(
)
2
cos
z z dz
γ
+
∫
,
где
γ
– ломаная, соединяющая точки
0
1
=z
,
1
2
=z
,
iz =
3
(рис.11.4).
Рис. 11.4
Подынтегральная функция
zzzf cos)(
2
+=
аналитична на комплексной плоскости
Χ
как сумма двух аналитических на
Χ
функций (см. примеры 9.1, 9.3, теорему 9.5). Кривая
γ
является простой кусочно-гладкой кривой. Следовательно, применима
формула Ньютона-Лейбница. Первообразной функции
)(zf
является функция
zzz sin
3
1
)(Ф
3
+=
. Действительно, применяя
формулы (8.41), (8.46), (8.3), (8.39), получаем
)(cos)(Ф
2
zfzzz =+=
′
.
По формуле (11.13)
( ) ( )
2 2 3
0
0
1
cos cos sin
3
i
I z z dz z z dz z z
γ
= + = + = + =
∫ ∫
3 3
1 1 1 1
sin 0 sin 0 sh1 sh1
3 3 3 3
i i i i i
= + − ⋅ + = − + = −
(использована формула (6.36)). Получили
1
sh1
3
I i
= −
.
Для функций, аналитических в односвязной области, справедлива формула интегрирования по частям.
Теорема 11.4. Пусть функции
)(zf
и
)(zg
аналитичны
в
одно
-
связной
области
D
.
Тогда
для
любой
простой
гладкой
или
кусочно
-
гладкой
кривой
,D
⊂
γ
соединяющей
две
данные
точки
Dzz
∈
21
,
справедлива
формула
[ ] [ ] [ ]
2 2
2
1
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
z z
z
z
z z
f z d g z f z d g z f z g z g z d f z
γ
= = −
∫ ∫ ∫
. (11.23)
Пусть
Dzz ∈
21
,
;
γ
–
простая
гладкая
или
кусочно
-
гладкая
кривая
с
началом
в
точке
1
z
и
концом
в
точке
2
z
,
расположенная
в
D.
Позже
будет
показано
(
см
.
следствие
12.1),
что
производная
аналитической
в
односвязной
области
функции
является
аналитической
функцией
в
этой
области
.
В
силу
этого
производные
)(zf
′
,
)(zg
′
аналитичных
в
D
функций
)(zf
,
)(zg
аналитичны
в
D
.
Следовательно
,
в
силу
теоремы
9.5
функции
),()( zgzf
′
),()( zgzf
′
),()()()( zgzfzgzf
′
+
′
)()( zgzf
аналитичны
в
области
D
.
В
силу
следствия
11.1

Страницы